如何解釋 PCA 載荷？
在閱讀有關 PCA 的信息時，我遇到了以下解釋：
假設我們有一個數據集，其中每個數據點代表一個學生在數學測試、物理測試、閱讀理解測試和詞彙測試中的分數。
我們找到了前兩個主要成分，它們捕獲了數據中 90% 的可變性，並解釋了它們的負載。我們得出結論，第一個主要成分代表整體學術能力，第二個主要成分代表定量能力和語言能力之間的對比。
文本指出 PC1 和 PC2 載荷是對於 PC1 和對於 PC2，並提供以下解釋：
[T]第一個分量與平均分數成正比，第二個分量測量第一對分數和第二對分數之間的差異。
我無法理解這個解釋是什麼意思。
載荷（不應與特徵向量混淆）具有以下屬性：
- 它們在每個分量內的平方和是特徵值（分量的方差）。
- 載荷是線性組合的係數，通過（標準化）分量預測變量。
您從 4 台 PC 中提取了 2 台第一台 PC。 負載矩陣和特徵值：
A (loadings) PC1 PC2 X1 .5000000000 .5000000000 X2 .5000000000 .5000000000 X3 .5000000000 -.5000000000 X4 .5000000000 -.5000000000 Eigenvalues: 1.0000000000 1.0000000000在這種情況下，兩個特徵值相等。這是現實世界中罕見的情況，它說PC1和PC2具有相同的解釋“強度”。
假設您還計算了組件值，
Nx2矩陣，並且您在每列中對它們進行 z 標準化（平均值 = 0，標准開發 = 1）。然後（如上面第 2 點所說），. 但是，因為您在 4 台 PC 中只剩下 2 台（您在) 恢復的數據值不准確， - 存在錯誤（如果特徵值 3、4 不為零）。行。通過變量預測組件的係數是多少？顯然，如果滿了
4x4，這些是. 對於非方形加載矩陣，我們可以將它們計算為，其中diag(eigenvalues)是對角線方陣，特徵值在其對角線上，+上標表示偽逆矩陣。在你的情況下：diag(eigenvalues): 1 0 0 1 B (coefficients to predict components by original variables): PC1 PC2 X1 .5000000000 .5000000000 X2 .5000000000 .5000000000 X3 .5000000000 -.5000000000 X4 .5000000000 -.5000000000因此，如果是
Nx4原始中心變量（或標準化變量，如果您基於相關性而不是協方差進行 PCA）的矩陣，則;是標準化的主成分分數。在您的示例中是：PC1 = 0.5X1 + 0.5X2 + 0.5X3 + 0.5X4 ~ (X1+X2+X3+X4)/4
“第一部分與平均分成正比”
PC2 = 0.5X1 + 0.5X2 - 0.5X3 - 0.5X4 = (0.5X1 + 0.5X2) - (0.5X3 + 0.5X4)
“第二部分測量第一對分數和第二對分數之間的差異”
在這個例子中，看起來，但在一般情況下它們是不同的。
注意：上述係數計算組件分數的公式，, 等價於， 和是變量的協方差（或相關）矩陣。後一個公式直接來自線性回歸理論。這兩個公式僅在 PCA 上下文中是等效的。在因子分析中，它們不是，並且計算因子分數（在 FA 中總是近似的）應該依賴於第二個公式。
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