平均絕對差的上限？
讓 $ X $ 是 CDF 的可積隨機變量 $ F $ 和逆 CDF $ F^* $ . $ Y $ 與 $ X $ . 證明$$ E|X-Y| \leq \frac{2}{\sqrt{3}}\sigma, $$在哪裡 $ \sigma=\sqrt{Var(X)} = \sqrt{E[(X-\mu)^2]} $ .
我正在尋找這個證明的一些提示。
我所擁有的是 $ E|X-Y|=2\int_{0}^{1}(2u-1)F^*(u)du $ . 但我不確定這是否是正確的方向。
我也注意到 $ \frac{2}{\sqrt{3}} $ 可能與均勻分佈的方差有關。
定理 3.3 來自 p。“Cerone、Pietro 和 Sever S. Dragomir 的 86。“關於 Gini Mean Difference 界限的調查。”Probability Theory and Statistics (2008) 的不等式進展”指出
$$ R_G(f) \le \frac{2}{(q+1)^{1/q}}\left[M_{E,p}(f)\right]^{1/p} $$
在哪裡 $ R_G(f)=\frac{1}2 E|X-Y| $ , $ p>1 $ , $ 1/p+1/q=1 $ ， 和 $ M_{E,p}(f)=E\left[|X-\mu|^{p}\right] $ .
證明很短，使用了 Holder 不等式。現在，備註 3.2 說要採取 $ p=q=2 $ 在不等式中找到
$$ R_G(f) \le \frac{2}{\sqrt{3}}\sigma $$
參考資料說這種不平等是已知的，並指的是
https://galton.uchicago.edu/~wichura/stat304/handouts/L09.means3.pdf
但是，我無法訪問該網站。它還說明了 Unif(0,1) 分佈的上限。參考文獻中似乎有印刷錯誤，因為我認為不等式應該是 $ R_G(f) \le \frac{1}{\sqrt{3}}\sigma $ . 有一個 $ \frac{1}2 $ 作為基尼平均差定義的一部分 $ R_G(f) $ .