Probability
有沒有中心極限定理不成立的例子？
維基百科說——
在概率論中，中心極限定理 (CLT) 確定，在大多數情況下，當添加獨立隨機變量時，即使原始變量本身不是正態分佈，它們的適當歸一化總和也趨於正態分佈（通俗地說是“鐘形曲線”）正態分佈…
當它說“在大多數情況下”時，中心極限定理在哪些情況下不起作用？
要理解這一點，您需要首先陳述中心極限定理的一個版本。這是中心極限定理的“典型”陳述：
林德伯格-萊維 CLT。認為是一個 iid 隨機變量序列和. 讓. 那麼作為 接近無窮大，隨機變量收斂於正態分佈IE
那麼，這與非正式的描述有何不同，差距在哪裡？您的非正式描述與此描述之間存在一些差異，其中一些已在其他答案中進行了討論，但並不完全。所以，我們可以把它變成三個具體的問題：
- 如果變量不是同分佈的會發生什麼？
- 如果變量具有無限方差或無限均值怎麼辦？
- 獨立有多重要？
一次拿這些，
不是同分佈的，最好的一般結果是中心極限定理的林德伯格和李雅波諾夫版本。基本上，只要標準差不會增長得太快，你就可以從中得到一個不錯的中心極限定理。
李雅普諾夫 CLT.[5] 認為是一系列獨立隨機變量，每個變量都有有限的期望值和方差 定義：
如果對於一些, 李雅普諾夫條件 滿足，那麼總和 隨著 n 趨於無窮大，分佈收斂到標準正態隨機變量：
對於具有無限方差的變量，存在類似於中心極限定理的**無限方差定理，但條件比通常的中心極限定理要窄得多。**本質上，概率分佈的尾部必須是漸近的為了. 在這種情況下，適當的縮放和收斂到 Levy-Alpha穩定分佈。
獨立性的重要性對於非獨立序列有許多不同的中心極限定理. 它們都是高度上下文相關的。正如蝙蝠俠指出的那樣，Martingales 有一個。 這個問題是一個正在進行的研究領域，根據感興趣的具體背景，有許多不同的變化。 這個關於數學交換的問題是與這個問題相關的另一篇文章。