腦筋急轉彎：從均勻 [0,1] 分佈中單調遞增的 iid 序列的預期長度是多少？
這是一個量化分析師職位的面試問題，報告在這裡。假設我們從制服中繪製 $ [0,1] $ 分佈和抽籤是獨立同分佈的，單調遞增分佈的預期長度是多少？即，如果當前繪製小於或等於先前繪製，我們停止繪製。
我得到了前幾個： $$ \Pr(\text{length} = 1) = \int_0^1 \int_0^{x_1} \mathrm{d}x_2, \mathrm{d}x_1 = 1/2 $$ $$ \Pr(\text{length} = 2) = \int_0^1 \int_{x_1}^1 \int_0^{x_2} \mathrm{d}x_3 , \mathrm{d}x_2 , \mathrm{d}x_1 = 1/3 $$ $$ \Pr(\text{length} = 3) = \int_0^1 \int_{x_1}^1 \int_{x_2}^1 \int_0^{x_3} \mathrm{d}x_4, \mathrm{d}x_3, \mathrm{d}x_2, \mathrm{d}x_1 = 1/8 $$
但我發現計算這些嵌套積分越來越困難，而且我沒有得到推廣的“技巧” $ \Pr(\text{length} = n) $ . 我知道最終的答案是結構化的 $$ \mathbb E(\text{length}) = \sum_{n=1}^{\infty}n\Pr(\text{length} = n) $$
關於如何回答這個問題的任何想法？
以下是解決此問題的一些一般提示：
您有一系列連續的 IID 隨機變量，這意味著它們是可交換的。這對第一個獲得特定訂單的概率意味著什麼價值觀？基於此，第一個獲得遞增訂單的概率是多少價值觀？無需對基礎隨機變量的分佈進行積分即可解決此問題。如果你做得好，你將能夠在沒有任何均勻分佈假設的情況下得出答案——即，你得到的答案適用於任何可交換的連續隨機變量序列。
這是完整的解決方案（不要看你是否應該自己解決這個問題）：
讓是你的獨立連續隨機變量序列，讓是序列開始處遞增元素的數量。因為這些是連續可交換的隨機變量，它們幾乎肯定是不相等的，並且任何排序都是同樣可能的，所以我們有：
（請注意，此結果適用於任何 IID 連續隨機變量序列；它們不必具有均勻分佈。）所以隨機變量具有概率質量函數 您會注意到此結果與您使用對基礎值進行積分計算的值一致。（解決方案不需要這部分；為了完整性而包含它。）使用一個眾所周知的非負隨機變量期望值規則，我們有： 再次注意，我們的工作中沒有任何東西使用了底層的均勻分佈。因此，這是適用於任何可交換的連續隨機變量序列的一般結果。
一些進一步的見解：
從上面的工作我們看到，這個分佈結果和得到的期望值不依賴於底層分佈，只要它是一個連續分佈。一旦我們考慮到每個連續標量隨機變量都可以通過一個均勻隨機變量的單調變換（變換是它的分位數函數）來獲得這一事實，這真的不足為奇。由於單調變換保留了等級順序，因此查看任意 IID 連續隨機變量的排序概率與查看 IID均勻隨機變量的排序概率相同。