Probability
中心極限定理和大數定律
關於中心極限定理（CLT），我有一個非常初學者的問題：
我知道 CLT 聲明 iid 隨機變量的平均值近似正態分佈（對於， 在哪裡是和的索引）或標準化隨機變量將具有標準正態分佈。
現在大數定律粗略地說，獨立同分佈隨機變量的平均值（概率或幾乎肯定）收斂到它們的期望值。
我不明白的是：如果如 CLT 所述，平均值近似正態分佈，那麼它如何同時收斂到預期值？
收斂對我來說意味著隨著時間的推移，平均值取一個不是預期值的值的概率幾乎為零，因此分佈實際上並不是正態分佈，而是在除預期值之外的所有地方幾乎為零。
歡迎任何解釋。
該圖顯示了均值的分佈（藍色），（紅色），和(gold) 獨立同分佈 ( iid ) 正態分佈（單位方差和均值）):
作為增加，均值的分佈變得更加“集中”. （“聚焦”的感覺很容易量化：給定任何固定的開區間周圍, 內的分佈量隨著增加並且有一個極限值.)
然而，當我們對這些分佈進行標準化時，我們會重新調整每個分佈的平均值和一個單位方差：那麼它們都是一樣的。這就是我們看到的方式，儘管手段本身的 PDF 正在飆升並集中在，然而這些分佈中的每一個仍然具有正態*形狀，*即使它們各自不同。
中心極限定理說，當您從具有有限方差的任何分佈（不僅僅是正態分佈）開始，並以iid 值作為增加，你會看到同樣的事情：均值分佈集中在原始均值周圍（大數弱定律），但標準化均值分佈收斂到標準正態分佈（中心極限定理）。
