給定順序統計量的均勻隨機變量的條件分佈
我手頭有以下問題：
認為是遵循Unif的iid隨機變量. 什麼是條件分佈給定?
我試著寫在哪裡
但我沒有得到任何地方。
圖片可能會有所幫助。 區間上的獨立均勻分佈可以認為是單位平方上的均勻分佈. 事件是正方形中的區域，它們的概率是它們的區域。
讓是任何可能的值. 坐標組在哪裡形成正方形邊的上邊緣和右邊緣. 讓是一個小的正數。坐標組其最大值介於和形成該正方形的狹窄加厚，如圖中陰影所示。它的面積是兩個正方形的面積之差，一個邊和另一邊, 從何而來
讓是任何可能的值：圖中用垂直虛線標出。
左側面板顯示了一個案例，其中: 機會將是該線左側的區域（等於); 但事件 和 介於和只是棕色陰影區域。它是一個矩形，所以它的面積就是它的寬度乘以它的高度. 因此，
右側面板顯示了一個案例，其中. 現在有機會和由兩個矩形組成。頂部有底座和身高; 正確的有基地和身高. 所以
根據定義，條件概率是這些機會除以總機會, 給出多於。劃分和由這個值。 讓是無窮小的，並保留結果的標準部分，給出的機會取決於. 因此，當,
什麼時候， 寫為了併計算
最後，對於，右側面板中的棕色區域已增長到等於灰色區域，因此它們的比率為.
這些結果表明，條件概率從到作為成長於到，然後從到在之間的無窮小區間和，然後停留在對於所有較大的. 這是一個圖表：
因為微乎其微，再也分不清了從視覺上：情節從高度跳躍到.
將上述內容組合成一個公式，適用於任何為此，我們可以將條件分佈函數寫為
這是一個完整而嚴謹的答案。 跳躍表明概率密度函數不能充分描述值處的條件分佈. 然而，在所有其他點上，都有一個密度. 它等於為了,為了（的導數關於）， 和為了. 您可以使用“廣義函數”以類似密度的形式編寫它。讓是給出數量級跳躍的“廣義密度”在：也就是說，它是位於單位概率的原子的“密度”. 然後廣義密度在可以寫表達一個事實，即概率集中在. 完整的，我們可以寫
