連續隨機變量 - 孩子準時上學的概率
一位父親在早上 6 點 15 分到 6 點 45 分之間離開家送兒子上學，通常需要 30 到 40 分鐘才能到達那裡。讓 $ X $ 和 $ Y $ 是獨立且隨機均勻分佈的連續變量，分別代表離家時間和上學路上花費的時間。孩子在早上 7 點上課之前到達的概率是多少？
（如果拼寫錯誤或順序不尋常，我很抱歉。我不是母語人士，所以我不確定“隨機均勻分佈的連續變量”的順序是否正確）
坦率地說，我對如何在此處進行操作一無所知。我想做的第一件事就是將時間轉換為只有幾分鐘，以使 $ X $ 和 $ Y $ 可比（某種意義上）。在那之後，把早上 7 點想像成 420 分鐘，我們需要 $ X+Y < 420 $ . 在此之後，我被卡住了（我什至不確定在此之前的推理是否可靠）。
非常感謝任何幫助！
正如你所建議的， $ X $ 和 $ Y $ 可以描述為兩個獨立的均勻隨機變量 $ X \sim \mathcal{U(375, 405)} $ , $ Y \sim \mathcal{U(30, 40)} $ . 我們很有趣地發現 $ \mathbb{P}[X + Y \leq 420] $ . 這個問題可以用簡單的幾何方法來處理。
$$ \mathbb{P}[X + Y \leq 420] = \frac{\text{grey area}}{\text{total area}} = \frac{ \Delta y \times d_1+ \frac{1}{2}\Delta y \times d_2}{\Delta x \times \Delta y} = \frac{5 + \frac{1}{2}\cdot10}{30} = \frac{1}{3}, $$ 在哪裡 $ \Delta x = 405 - 375 = 30 $ , $ \Delta y = 40 - 30 = 10 $ , $ d_1 = (420-40)-375 $ 和 $ d_2 = 390 - (420-40) $
