高斯隨機變量的二次多項式分佈

我想計算

在哪裡. 使用蒙特卡洛我可以很容易地做到這一點。但是，我被要求找到分析 pdf的然後計算

我猜將是這樣的只能用數值計算。但是，由於它是單變量積分，因此可以使用數值方法以非常高的精度對其進行計算。是否有一個（相對簡單的）表達式，以便我可以執行數值積分？或者是否有另一種計算的可能性，除了蒙特卡洛（我認為這是最明智的方法）？

注意， 在哪裡和是多項式的根. 我們必須假設和是實數且不相等，否則所討論的概率通常為零或一。

我們有兩個案例。

1. ， 然後.
2. ， 然後

自從是正態的，可以使用正態變量的累積分佈函數計算概率。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/208362