正態分佈隨機變量的最大值分佈
我正在嘗試查找的封閉式 CDF 和 PDF $ Y = \max(X_1, …, X_n) $ 在哪裡 $ X_i \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma^2) $ .
到目前為止我的思考過程： $$ \begin{align*} F_Y(y) &= \mathbb{P}(\max(X_1, …, X_n) \leq y) \ &= \prod_{i=1}^n F_{X_i}(y) \ \implies f_Y(y) &= \frac{\partial}{\partial y} \prod_{i=1}^n F_{X_i}(y) \end{align*} $$ 我不確定如何從這裡開始，或者這是否是正確的方法。任何幫助深表感謝。
編輯：鏈接的問題與 IID 隨機變量有關，而我對 INID 隨機變量更感興趣。
像這樣的問題，您想要區分取決於您感興趣的變量的一堆函數的乘積，可以通過對數微分來處理。讓 $ \Phi $ 和 $ \phi $ 分別表示標準正態分佈的 CDF 和 PDF。由於您問題中的正常隨機變量具有相同的方差，因此您得到：
$$ \prod_{i=1}^n F_i(y) = \prod_{i=1}^n \Phi \Big( \frac{y-\mu_i}{\sigma} \Big) = \exp \Bigg( \sum_{i=1}^n \ln \Phi \Big( \frac{y-\mu_i}{\sigma} \Big) \Bigg). $$
區別於 $ y $ 並應用鍊式法則給出：
$$ \begin{equation} \begin{aligned} f_Y(y) = \frac{d F_Y}{dy}(y) &= \Bigg( \frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^n \frac{\phi ( (y-\mu_i)/\sigma ) }{\Phi ( (y-\mu_i)/\sigma )} \Bigg) \exp \Bigg( \sum_{i=1}^n \ln \Phi \Big( \frac{y-\mu_i}{\sigma} \Big) \Bigg) \[6pt] &= \Bigg( \frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^n \frac{\phi ( (y-\mu_i)/\sigma ) }{\Phi ( (y-\mu_i)/\sigma )} \Bigg) \Bigg( \prod_{i=1}^n \Phi \Big( \frac{y-\mu_i}{\sigma} \Big) \Bigg). \[6pt] \end{aligned} \end{equation} $$
在特殊情況下 $ \mu = \mu_1 = \cdots = \mu_n $ 這簡化為眾所周知的公式：
$$ f_Y(y) = \frac{n}{\sigma} \cdot \phi \Big( \frac{y-\mu}{\sigma} \Big) \cdot \Phi \Big( \frac{y-\mu}{\sigma} \Big)^{n-1}. $$