期望X41(X21+⋯+X2d)2X14(X12+⋯+Xd2)2frac{X_1^4}{(X_1^2 + cdots + X_d^2)^2}
讓 $ X_1 $ , $ X_2 $ , $ \cdots $ , $ X_d \sim \mathcal{N}(0, 1) $ 並且要獨立。期望是什麼 $ \frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2} $ ?
很容易找到 $ \mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) = \frac{1}{d} $ 通過對稱。但我不知道如何找到期望 $ \frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2} $ . 你能提供一些提示嗎？
到目前為止我得到了什麼
我想找到 $ \mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) $ 通過對稱。但這種情況不同於 $ \mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) $ 因為 $ \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) $ 可能不等於 $ \mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) $ . 所以我需要一些其他的想法來找到期望。
這個問題是從哪裡來的
數學堆棧交換中的一個問題要求 $ |Ax|2^2 $ 對於單位均勻隨機向量 $ x $ 在 $ S^{d-1} $ . 我的推導表明，答案在很大程度上取決於 $ \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) $ 和 $ \mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) $ 為了 $ i \neq j $ . 自從 $$ \sum{i \neq j}\mathbb{E} \left( \frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) + \sum_i \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) = 1 $$ 通過對稱性，我們只需要知道 $ \mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) $ 獲得其他期望。
的分佈是卡方（也是伽馬的一個特例）。
的分佈因此是β。
β 平方的期望並不難。