當所有事件不能一起發生時，找出三分之一的概率
陳述
三個事件 E、F 和 G 不能同時發生。此外，已知 P(E ∩ F ) = P(F ∩ G) = P(E ∩ G) = 1/3。你能確定P(E)嗎？
我做了這個圖：
$ P(E \cup F \cup G) = P(E) + P(F) + P(G) - P(E \cap F) - P(E \cap G) - P(F \cap G) $
$ \implies $ $ P(E) = P(E \cup F \cup G) - P(F) - P(G) + P(E \cap F) + P(E \cap G) + P(F \cap G) $
$ \implies $
$ P(E) = P(E \cup F \cup G) - P(F) - P(G) + \frac 13 + \frac 13 + \frac 13 $
$ \implies $
$ P(E) = P(E \cup F \cup G) - P(F) - P(G) + 1 $
現在下一步該怎麼做？
看起來此圖與問題描述更匹配：
此維恩圖顯示了相互交叉的機會為零的情況：
從 $ \Pr(E\cap F) = 1/3 $ 我們推斷所有這些概率都在於 $ E $ 和 $ F $ 磁盤， 但不是所有三個磁盤的相互重疊。 這允許我們更新圖表：
應用相同的推理 $ \Pr(F\cap G) = \Pr(E\cap G) = 1/3, $ 我們得到一個顯示問題中所有信息的維恩圖：
全概率公理斷言所有概率之和（包括 $ E\cup F\cup G, $ 顯示在左下角）是 $ 1. $
一個更基本的概率公理斷言所有概率都必須是非負的。但是由於 $ 1/3+1/3+1/3+0=1, $ 所有可能的概率都已經出現了。 剩下的概率必須為零，這意味著圖片只能像這樣完成：
最後，第三個公理（與填寫維恩圖的第二步中使用的相同）斷言 $ E $ 等於它四個部分的概率之和，因為它們是不相交的。 因此，從中心概率開始，圍繞描繪的圓盤逆時針移動 $ E, $
$$ \Pr(E) = 0 + 1/3 + 0 + 1/3 = 2/3. $$
一個值得記住的道德：
完全概括地繪製維恩圖，以便它們顯示集合的所有可能交集，即使您知道某些概率為零。
這有助於您系統地跟踪所有信息。（它在概念上也更準確，因為概率為零的集合不一定非空！）
