頻率的概率定義；是否存在正式定義？
對於常客在“概率”下的理解，是否有任何正式的（數學）定義。我讀到它是“從長遠來看”的相對發生頻率，但是有一些正式的方法來定義它嗎？是否有任何已知的參考資料可以找到該定義？
編輯：
對於常客（請參閱@whuber 的評論以及我對答案下方的@Kodiologist 和@Graeme Walsh 的評論）我的意思是那些“相信”這種長期相對頻率存在的人。也許這（部分）也回答了@Tim的問題
TL; DR似乎不可能定義與不完全循環的 Kolmogorov 框架（即循環邏輯意義上的）一致的概率論定義。
**沒多久我就讀到了：**我想解決我認為候選頻率論者概率定義的一些潛在問題
第一的，只能合理地解釋為隨機變量，因此上述表達式在嚴格意義上沒有精確定義。我們需要指定這個隨機變量的收斂模式，幾乎可以肯定，概率、分佈、均值或均方。 但是所有這些收斂的概念都需要對概率空間進行測量以定義為有意義的。當然，直觀的選擇是幾乎可以肯定地選擇收斂。這具有限制需要逐點存在的功能，除非在測量為零的事件上。對於彼此絕對連續的任何度量系列，構成一組零度量的內容將是一致的——這使我們能夠定義一個幾乎肯定收斂的概念，從而使上述限制變得嚴格，同時仍然對潛在的東西有些不可知。事件的可測量空間的度量是（即因為它可以是相對於某些選定度量絕對連續的任何度量）。這將防止由於預先確定給定措施而引起的定義中的循環，
但是，如果我們使用幾乎確定的收斂，那麼這意味著我們將自己限制在強大數定律（以下稱為 SLLN）的情況下。讓我陳述一下這個定理（在 Chung 的第 133 頁給出），以供參考：
讓是一系列獨立的、同分佈的隨機變量。然後我們有
在哪裡.
所以假設我們有一個可測量的空間我們想定義一些事件的概率關於一些相互絕對連續的概率測度族. 然後通過 Kolmogorov 擴展定理或 Ionescu Tulcea 擴展定理（我認為兩者都有效），我們可以構建一系列產品空間, 每人一個. （請注意，作為 Kolmogorov 定理的結論的無限乘積空間的存在要求每個空間的測度為，因此我現在限制為概率，而不是任意的度量）。然後定義為指標隨機變量，即等於如果發生在副本和如果沒有，換句話說
然後很清楚（在哪裡表示期望)，所以強數定律實際上適用於（因為通過建設是相同且獨立分佈的 - 請注意，獨立分佈意味著產品空間的度量相對於坐標度量是乘法的）所以我們得到因此我們對概率的定義關於自然應該是. 然而，我剛剛意識到，即使隨機變量的序列幾乎肯定會收斂於當且僅當它幾乎肯定地收斂於， （在哪裡) 這並不一定意味著它會收斂到相同的值；事實上，SLLN 保證它不會，除非這通常不是真的。
如果以某種方式“足夠規範”，例如有限集的均勻分佈，那麼這可能效果很好，但並沒有真正提供任何新的見解。特別是對於均勻分佈，，即概率只是點或基本事件的比例屬於，這對我來說似乎有點循環。對於一個連續的隨機變量，我看不出我們怎麼能就“規範”的選擇達成一致.
即，將事件的頻率定義為事件的概率似乎是有意義的，但將事件的概率定義為頻率似乎沒有意義（至少不是循環的）。這尤其成問題，因為在現實生活中我們實際上並不知道概率是多少。我們必須估計它。
另請注意，可測空間子集的頻率定義取決於所選測度是概率空間；例如，對於可數的多個副本沒有產品度量被賦予勒貝格測度，因為. 同樣，測量使用規範產品度量是, 如果或變為零，如果*，即 Kolmogorov 和 Tulcea 的擴展定理是概率*測度所特有的非常特殊的結果。