我們怎麼知道滾動 1 和 2 的概率是 1/18？
自從我的第一個概率課以來，我一直在想以下問題。
計算概率通常是通過“有利事件”與總可能事件的比率來引入的。在擲兩個 6 面骰子的情況下，可能事件的數量為，如下表所示。
因此，如果我們有興趣計算事件 A “滾動 a和一個”，我們會看到有兩個“喜歡的事件”，並將事件的概率計算為.
現在，總是讓我想知道的是：假設無法區分這兩個骰子，我們只能在擲完它們後觀察它們，例如，我們會觀察到“有人給我一個盒子。我打開盒子。”有一個和一個“。在這種假設的情況下，我們將無法區分兩個骰子，因此我們不知道有兩個可能的事件導致了這種觀察。那麼我們可能的事件將是這樣的：
我們將計算事件 A 的概率為.
同樣，我完全意識到第一種方法將引導我們找到正確的答案。我問自己的問題是：
我們怎麼知道是正確的？
我想出的兩個答案是：
- 我們可以憑經驗檢查它。儘管我對此很感興趣，但我需要承認我自己並沒有這樣做。但我相信會是這樣。
- 實際上，我們可以區分骰子，比如一個是黑色的，另一個是藍色的，或者先扔一個，或者只是知道可能的事件，然後所有標準理論都有效。
我對你的問題是：
- 還有什麼其他理由讓我們知道是正確的？（我很確定一定有一些（至少是技術上的）原因，這就是我發布這個問題的原因）
- 是否有一些基本論據反對假設我們根本無法區分骰子？
- 如果我們假設我們無法區分骰子並且無法根據經驗檢查概率，則甚至正確還是我忽略了什麼？
感謝您花時間閱讀我的問題，我希望它足夠具體。
想像一下，你扔了你的六面骰子，你得到了⚀。結果是如此令人著迷，以至於您打電話給您的朋友戴夫並告訴了他。因為他很好奇扔出漂亮的六面骰子會得到什麼，所以他扔了它並得到了⚁。
標準模具有六個面。如果你沒有作弊，那麼它以相等的概率落在每一邊，即 $ 1 $ 在 $ 6 $ 次。你拋出 ⚀ 的概率，和其他邊一樣，是 $ \tfrac{1}{6} $ . 你扔 ⚀，而你的朋友扔 ⚁ 的概率是 $ \tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36} $ 因為這兩個事件是獨立的，我們將獨立的概率相乘。換個說法，有 $ 36 $ 可以輕鬆列出的此類對的排列（就像您已經做過的那樣）。相反事件（你扔⚁而你的朋友扔⚀）的概率也是 $ \tfrac{1}{36} $ . 你扔 ⚀，你的朋友扔 ⚁，或者你扔 ⚁，你的朋友扔 ⚀ 的概率是互斥的*，所以我們*添加它們 $ \tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36} $ . 在所有可能的安排中，有兩個符合這個條件。
我們怎麼知道這一切？好吧，基於概率、組合學和邏輯，但這三者需要一些事實知識才能依賴。根據成千上萬賭徒的經驗和一些物理學，我們知道，沒有理由相信一個公平的六面骰子除了每一面都有等概率的機會之外。同樣，我們沒有理由懷疑兩個獨立的投擲之間存在某種關聯並相互影響。
您可以想像一個帶有標籤的盒子 $ 2 $ - 數字的組合（重複） $ 1 $ 到 $ 6 $ . 這將限制可能結果的數量 $ 21 $ 並改變概率。但是，如果您以骰子的形式來考慮這樣的定義，那麼您將不得不想像兩個骰子以某種方式粘合在一起。這與兩個可以獨立運行並且可以單獨拋出的骰子以相等的概率落在每一側而不會相互影響非常不同。
綜上所述，需要評論的是，這種模型是可能的，但不適用於骰子之類的東西。例如，在基於經驗觀察的粒子物理學中，不可區分粒子的玻色-愛因斯坦統計（另見星條問題）似乎比可區分粒子模型更合適。您可以在Peter Whittle的Probability or Probability via Expectation或William Feller的概率論及其應用介紹的第一卷中找到關於這些模型的一些評論。