我必須擲骰子多少次才能自信地評估其公平性？
（為使用通俗語言而不是統計語言提前道歉。）
如果我想測量將特定物理六面骰子的每一面滾動到大約 +/- 2% 以內的機率，並且有合理的確定性，那麼需要多少個樣本骰子滾動？
即，我需要擲骰子多少次，計算每個結果，才能有 98% 的把握每邊擲骰子的機率在 14.6% - 18.7% 之間？（或者一些類似的標準，其中一個人大約 98% 確定骰子是公平的，誤差在 2% 以內。）
（對於使用骰子的模擬遊戲來說，這是一個現實世界關注的問題，並且希望確保某些骰子設計能夠接受接近每個數字的 1/6 機會。有人聲稱，許多常見的骰子設計已經測量出 29% 的 1每個擲幾個這樣的骰子 1000 次。）
TL；DR：如果 $ p $ = 1/6 你想知道有多大 $ n $ 需要 98% 確定骰子是公平的（在 2% 以內）， $ n $ 至少需要 $ n $ ≥ 766 .
讓 $ n $ 是卷數和 $ X $ 落在某個特定邊上的擲骰數。然後 $ X $ 遵循二項式 (n,p) 分佈，其中 $ p $ 是獲得指定邊的概率。
根據中心極限定理，我們知道
$$ \sqrt{n} (X/n - p) \to N(0,p(1-p)) $$
自從 $ X/n $ 是樣本均值 $ n $ 伯努利 $ (p) $ 隨機變量。因此對於大 $ n $ , 置信區間 $ p $ 可以構造為
$$ \frac{X}{n} \pm Z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $$
自從 $ p $ 是未知的，我們可以用樣本平均值替換它 $ \hat{p} = X/n $ ，並且通過各種收斂定理，我們知道得到的置信區間將是漸近有效的。所以我們得到形式的置信區間
$$ \hat{p} \pm Z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} $$
和 $ \hat{p} = X/n $ . 我假設你知道什麼 $ Z $ -分數是。例如，如果你想要一個 95% 的置信區間，你需要 $ Z=1.96 $ . 所以對於給定的置信水平 $ \alpha $ 我們有
$$ \hat{p} \pm Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} $$
現在假設您希望這個置信區間的長度小於 $ C_\alpha $ ，並想知道我們需要多大的樣本來製作這個案例。好吧，這相當於問什麼 $ n_\alpha $ 滿足
$$ Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_\alpha}} \leq \frac{C_\alpha}{2} $$
然後解決得到
$$ n_\alpha \geq \left(\frac{2 Z_\alpha}{C_\alpha}\right)^2 \hat{p}(1-\hat{p}) $$
所以插入你的價值觀 $ Z_\alpha $ , $ C_\alpha $ , 並估計 $ \hat{p} $ 獲得估計 $ n_\alpha $ . 請注意，由於 $ p $ 未知，這只是一個估計，但漸近（如 $ n $ 變大）它應該是準確的。