如何將部分置信區間相加以創建總置信區間？
我有一個響應變量，當使用不同的解釋變量計算時，它會獲得不同的置信區間 (CI)。我想將響應變量的所有值相加並為總和創建一個 CI。
如果有人請幫助我從鐵人三項中解決以下示例，我會理解該怎麼做，其中時間（分鐘）是響應變量，距離（公里）和紀律是解釋變量：
- 游泳 1.5 公里的 95% CI 是 40 到 50 分鐘
- 騎行 40 公里的 95% CI 是 60 到 80 分鐘
- 跑 10 公里的 95% CI 是 30 到 40 分鐘
問：一個人完成 95% CI 的鐵人三項需要多長時間？
[如果有任何區別，我假設學科之間的正態分佈和獨立性]
謝謝
簡而言之：
- 將每個置信區間（45+70+35=150 分鐘）的中心點之和作為置信區間的中心點。
- 將每個置信區間的半徑平方和的平方根作為區間半徑
因此，一個人在 137.75 到 162.25 分鐘之間完成鐵人三項的概率為 95%。無論如何，小心假設。
長篇：
我假設了學科之間的正態分佈和獨立性，儘管第一個假設作為粗略的近似可能是合理的，但第二個假設可能是錯誤的，因為我希望在一個學科中表現良好的人可能在其他學科中表現良好（例如，我希望自己在鐵人三項的每個項目中都表現不佳）。
假設每個學科的時間是一個正態變量，總時間只是三個隨機變量的總和，因此是正態分佈的。和的方差也是三個變量的方差之和，由於區間半徑與方差的平方根成正比，因此只需將每個區間的半徑平方相加即可得到和變量的半徑平方.
但是，請注意，每個學科的時間是獨立的（可疑的）假設縮小了結果間隔——我會說，不切實際地縮小了它。
我們可以做出相反的假設，即各學科的時間是絕對相關的（也就是說，大致而言，40 分鐘內游泳的人與 60 分鐘內騎自行車和 30 分鐘內跑步的人相同）。這種假設可能與獨立的假設一樣不切實際，但肯定不會更不切實際。
在這個假設下，間隔的半徑只是總和，預計 95% 的運動員將在 130 到 170 分鐘內完成鐵人三項。
最後，我們應該期望實際區間在 [137.25,162.25] 和 [130,170] 之間（都是不切實際的極端情況），但要給出更準確的結果，我們需要（至少）知道相關性是什麼在不同學科的時間之間。
編輯術語
正如 Whiber 在他的評論中指出的那樣，目前尚不清楚問題中給出的間隔的含義是什麼。雖然，答案是有效的，以與問題中的間隔相同的方式解釋結果間隔。
問題間隔的兩個合理含義是：
- 每項運動平均值的置信區間。
- 或包含每項運動 95% 參與者的時間的間隔。
儘管問題的措辭更適合第二個含義（因此我的回答中的措辭），但通常不將“置信區間”這個名稱與這個含義一起使用。
但是，由於各個時間服從正態分佈（根據問題中的假設），並且均值的估計也服從正態分佈（如果樣本量足夠大或者我們繼續堅持各個時間呈正態分佈的假設），兩種含義的區間算術相同，因此給出的結果對兩種含義都成立。