Probability
如何解析地解決這個概率問題（而不是使用模擬）？如果比爾先走，他贏得比賽的概率
這是問題設置：
兩個人玩投球遊戲。莎莉 70% 的投球命中率，比爾 40% 的投籃命中率。比賽由首先擊中目標的人獲勝。如果比爾每次都先投，求他獲勝的概率。
通過模擬，我得到比爾獲勝的概率約為 0.52（四捨五入到小數點後兩位）。如何分析地解決這個問題？
我認為您的模擬人生中可能有比爾和莎莉。我發現比爾獲勝的概率是 $ \approx 0.488 $ .
比爾第一次投球獲勝的概率，稱之為 $ p_1 $ 是 $ 0.40 $ . 比爾第二次投球獲勝的概率要求他投中，莎莉投中，然後比爾投中，或者
$ p_2=(1-0.4)(1-0.7)0.4 = (0.18)(0.4) $
相似地，
$ p_3=(1-0.4)(1-0.7)(1-0.4)(1-0.7)0.4 = (0.18)^{2}(0.4) $
或者一般來說，
$ p_i=(0.18)^{i-1}(0.4) $
比爾獲勝的總概率是 $ \Sigma p_i $ .
由於順序概率的比率是恆定的，因此這是一個幾何級數。無限幾何級數的和可以用公式找到
$ \Sigma r^{i-1}p_1 = \frac{p_1}{1-r}=\frac{0.4}{1-0.18}=\frac{0.4}{0.82}\approx0.4878 $