拋硬幣 n 次的假設檢驗

你拋硬幣 n 次，你觀察到 60% 的次數是正面。

n 需要多大才能達到 95% 的置信度，即它不是一枚公平的硬幣？

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嘗試：基本上使用二項分佈，但我不知道如何將 60% 的數字考慮到我的計算中。

$ \mu +/- Z_\alpha \frac{S}{\sqrt(n)}, \text{so I have, } 0.6 * \frac{\sqrt(n)}{0.6*\sqrt{0.6*0.4}} = Z_{0.05} =1.96 $ ， 所以 $ n $ = 1.6

你要 $ n $ 足夠大以至於表格的置信區間 $ \hat p \pm 1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}, $ 在哪裡 $ X $ 是頭數和 $ \hat p = X/n, $ 不包括 $ 0.5. $

粗略地說，標準誤差是 $ \sqrt{.6(.4)/n} $ 誤差幅度約為 $ 2\sqrt{.6(.4)/n}\approx 0.98/\sqrt{n}. $ 並且您希望邊際誤差小於 $ 0.1, $ 所以周圍的東西 $ n = 96 $ 應該足夠了。我展示了例子 $ n=100 $ 以下。

n = 100;  x = 60;  z = qnorm(c(.025,.975))
CI = .6 + z*sqrt(.24/100);  CI
[1] 0.5039818 0.6960182

Agresti 和 Coull 提出的一種高級 CI 使用點估計 $ \tilde p = (x+2)/(n+4) = 62/104 = 0.5962 $ 端點在 $ \tilde p \pm 1.96\sqrt{\tilde p(1-\tilde p)/104}. $ 這個區間也只是錯過了覆蓋 $ 1/2. $

p.est=(60+2)/(10+4)
p.est + qnorm(c(.025,.975)) * sqrt( p.est*(1-p.est)/104 )
[1] 0.5018524 0.6904553

最後，Jeffries 95% CI 使用分位數 $ 0.025 $ 和 $ 0.975 $ 分佈的 $ \mathsf{BETA}(60+0.5, 40+0.5), $ 所以區間是 $ (0.5023,0.6920). $

qbeta(c(.025,.975), 60.5, 40.5)
[1] 0.5022567 0.6920477

取決於您使用的間隔類型以及您是否希望最小的數字足夠大以使 CI 不包含 $ 1/2, $ 我會把剩下的留給你。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/495612