如果𝑋1,⋯,𝑋𝑛∼(𝜇,1)X1,⋯,Xn∼N(μ,1)X_1,cdots,X_n sim mathcal{N}(mu, 1)是 IID，然後計算𝔼(𝑋1∣𝑇)E(X1∣T)mathbb{E}left( X_1 mid T right)， 在哪裡𝑇=∑𝑖𝑋𝑖T=∑iXiT = sum_i X_i
問題
如果 $ X_1,\cdots,X_n \sim \mathcal{N}(\mu, 1) $ 是 IID，然後計算 $ \mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right) $ ， 在哪裡 $ T = \sum_i X_i $ .
嘗試：請檢查以下是否正確。
假設，我們取這些條件期望的總和，這樣， $$ \begin{align} \sum_i \mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \mathbb{E}\left( \sum_i X_i \mid T \right) = T . \end{align} $$ 這意味著每個 $ \mathbb{E}\left( X_i \mid T \right) = \frac{T}{n} $ 自從 $ X_1,\ldots,X_n $ 是 IID。
因此， $ \mathbb{E}\left( X_1 \mid T \right) = \frac{T}{n} $ . 這是正確的嗎？
這個想法是對的——但有一個問題是更嚴格地表達它。因此，我將專注於符號和揭示這個想法的本質。
讓我們從可交換性的概念開始：
隨機變量 $ \mathbf X=(X_1, X_2, \ldots, X_n) $ 當置換變量的分佈是可交換的 $ \mathbf{X}^\sigma=(X_{\sigma(1)}, X_{\sigma(2)}, \ldots, X_{\sigma(n)}) $ 對於每個可能的排列都是相同的 $ \sigma $ .
顯然iid意味著可交換。
作為符號，寫 $ X^\sigma_i = X_{\sigma(i)} $ 為了 $ i^\text{th} $ 的組成部分 $ \mathbf{X}^\sigma $ 然後讓$$ T^\sigma = \sum_{i=1}^n X^\sigma_i = \sum_{i=1}^n X_i = T. $$
讓 $ j $ 是任何索引並讓 $ \sigma $ 是發送的索引的任何排列 $ 1 $ 到 $ j = \sigma(1). $ （這樣一個 $ \sigma $ 存在是因為人們總是可以交換 $ 1 $ 和 $ j. $ ) 的可交換性 $ \mathbf X $ 暗示
$$ E[X_1\mid T] = E[X^\sigma_1\mid T^\sigma] = E[X_j\mid T], $$
因為（在第一個不等式中）我們只是替換了 $ \mathbf X $ 由同分佈向量 $ \mathbf X^\sigma. $ 這是問題的癥結所在。
最後
$$ T = E[T \mid T] = E[\sum_{i=1}^n X_i\mid T] = \sum_{i=1}^n E[X_i\mid T] = \sum_{i=1}^n E[X_1\mid T] = n E[X_1 \mid T], $$
何處
$$ E[X_1\mid T] = \frac{1}{n} T. $$