來自同一分佈族的兩個隨機變量是否有可能具有相同的期望和方差，但更高的矩不同？
我在思考位置尺度家庭的含義。我的理解是，對於每個具有參數的位置比例族的成員位置和規模，然後是分佈不依賴於任何參數，每個參數都相同屬於那個家庭。
所以我的問題是您能否提供一個示例，其中來自同一分佈族的兩個隨機數是標準化的，但不會導致具有相同分佈的隨機變量？
說和來自同一個分佈家族（我的意思是家族，例如正態或伽瑪等等..）。定義：
我們知道兩者和具有相同的期望和方差，.
但他們能有不同的更高時刻嗎？
我試圖回答這個問題是，如果和取決於兩個以上的參數。我正在考慮廣義的有3個參數。
但是如果參數個數是和和來自具有相同期望和方差的同一個分佈族，那麼這是否意味著和具有相同的分佈（更高的時刻）？
關於什麼是分佈族以及如何計算自由參數與自由加固定（分配）參數，顯然存在一些混淆。這些問題是與 OP 的意圖和這個答案無關的旁白。**我在這裡沒有使用家庭這個詞，因為它令人困惑。**例如，根據一個來源的族是改變形狀參數的結果。@whuber 指出，家庭的“參數化”是來自 ℝ 子集的連續映射 $ ^n $ ，以其通常的拓撲結構，進入分佈空間，其形像是那個家庭。 **我將使用涵蓋單詞族的預期用法以及參數識別和計數的單詞*形式。*例如公式 $ x^2-2x+4 $ 具有二次公式的形式，即 $ a_2x^2+a_1x+a_0 $ 而如果 $ a_1=0 $ 該公式仍然是二次形式。然而，當 $ a_2=0 $ 該公式是線性的，並且形式不再足夠完整，無法包含二次形狀項。鼓勵那些希望在適當的統計上下文中使用家庭一詞的人為這個單獨的問題做出貢獻。
**讓我們回答“他們能有不同的更高時刻嗎？”這個問題。**有很多這樣的例子。我們順便注意到，問題似乎與對稱 PDF 相關，在簡單的雙參數情況下，它們往往具有位置和比例。邏輯：假設有兩個具有不同形狀的密度函數具有兩個相同的（位置、比例）參數。那麼要么有一個形狀參數調整形狀，要么密度函數沒有共同的形狀參數，因此是非共同形式的密度函數。
這是一個形狀參數如何計算的示例。廣義誤差密度函數此處是一個似乎具有可自由選擇峰度的答案。
作者 Skbkekas - 自己的作品，CC BY-SA 3.0，https ://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6057753
PDF（又名“概率”密度函數，注意“概率”這個詞是多餘的）是$$ \dfrac{\beta}{2\alpha\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)} ; e^{-\Big(\dfrac{|x-\mu|}{\alpha}\Big)^\beta} $$
平均值和位置是 $ \mu $ ，尺度為 $ \alpha $ ， 和 $ \beta $ 是形狀。請注意，呈現對稱 PDF 更容易，因為這些 PDF 通常將位置和比例作為最簡單的兩個參數情況，而非對稱 PDF（如gamma PDF）往往將形狀和比例作為最簡單的情況參數。繼續誤差密度函數，方差為 $ \dfrac{\alpha^2\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)} $ ，偏度為 $ 0 $ ，峰度為 $ \dfrac{\Gamma\Big(\dfrac{5}{\beta}\Big)\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)^2}-3 $ . 因此，如果我們將方差設置為 1，那麼我們將 $ \alpha $ 從 $ \alpha ^2=\dfrac{\Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}{\Gamma \left(\dfrac{3}{\beta }\right)} $ 在變化的同時 $ \beta>0 $ ，因此峰度可以在以下範圍內選擇 $ -0.601114 $ 到 $ \infty $ .
也就是說，如果我們想要改變高階矩，並且想要保持均值為零和方差為 1，我們需要改變形狀。這意味著三個參數，通常是 1) 平均值或其他適當的位置度量，2) 調整方差或其他可變性度量的尺度，以及 3) 形狀。它至少需要三個參數來做到這一點。
請注意，如果我們進行替換 $ \beta=2 $ , $ \alpha=\sqrt{2}\sigma $ 在上面的 PDF 中，我們得到$$ \frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma };, $$
這是正態分佈的密度函數。因此，廣義誤差密度函數是正態分佈密度函數的推廣。有很多方法可以概括正態分佈的密度函數。另一個例子，但正態分佈的密度函數僅作為極限值，而不是像廣義誤差密度函數那樣具有中等範圍的替代值，是學生的 $ -t $ 的密度函數。使用學生的 $ -t $ 密度函數，我們將有一個更受限制的峰度選擇，並且 $ \textit{df}\geq2 $ 是形狀參數，因為二階矩不存在 $ \textit{df}<2 $ . 此外，df實際上並不限於正整數值，它通常是實數 $ \geq1 $ . 學生們 $ -t $ 僅在極限內變得正常 $ \textit{df}\rightarrow\infty $ ，這也是我沒有選擇它作為例子的原因。這既不是一個好例子也不是一個反例，在這點上我不同意@Xi’an 和@whuber。
讓我進一步解釋一下。例如，可以選擇兩個參數的許多任意密度函數中的兩個，使其均值為零，方差為一。但是，它們不會都具有相同的形式。**然而，問題涉及相同形式的密度函數，而不是不同形式。**有人聲稱哪些密度函數具有相同的形式是任意分配，因為這是一個定義問題，而我的看法不同。我不同意這是任意的，因為可以進行替換以將一個密度函數轉換為另一個密度函數，或者不能。在第一種情況下，密度函數是相似的，如果通過代入我們可以證明密度函數不等價，那麼這些密度函數的形式不同。
因此，使用學生的例子 $ -t $ PDF，選擇要么將其視為普通 PDF 的概括，在這種情況下，普通 PDF 具有學生的允許形式 $ -t $ 的 PDF，或者不是，在這種情況下學生的 $ -t $ 的 PDF 與普通 PDF 的格式不同**，因此與提出的問題無關**。
我們可以以多種方式爭論這一點。我的觀點是，普通的 PDF 是學生的子選擇形式 $ -t $ 的 PDF，但即使伽馬 PDF 的極限值可以顯示為普通 PDF，普通 PDF 也不是伽馬 PDF 的子選擇，而且，我這樣做的原因是在普通/學生' $ -t $ 情況下，支持是相同的，但在正常/伽馬情況下，支持是無限的而不是半無限的，這是所需的不兼容。
