是否有 20 分之一或 400 分之一的機會在 d20 擲骰結果發生之前猜到它的結果？
我的朋友們對龍與地下城有點爭論。我的玩家設法在 D20 擲骰結果發生之前猜到了結果，我的朋友說他猜到這個數字的機率是 20 分之一。另一個朋友說他猜到的機率是 400 分之一，因為他的概率隨機猜測一個數字然後滾動它都是 20 分之一，所以復合概率是 400 分之一。這些概率中哪一個更能描述我們的情況，他的機會到底是多少？
有 400 種可能性，其中有 20 種可能性，每一種都有概率發生 $ \frac{1}{400} $ ，讓猜測等於結果。所以猜測等於結果的總概率是 $ 20\cdot \frac{1}{400} = \frac{20}{400} = \frac{1}{20} $
$$ \small{ \begin{array}{rc} & \text{OUTCOME}\ \begin{array}{} \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{S}} \ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{S}} \ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{E}} \ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{U}} \ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{G}} \ \end{array} &\begin{array}{c|ccccccccccccccccccccccccccc} &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20 \ \hline 1 & \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\ 2 & \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\ 3 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\ 4 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\ 5 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& 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\frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\ 18 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}\ 19 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}& \frac{1}{400}\ 20 & \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \frac{1}{400}& \color{red}{ \frac{1}{400}}\ \end{array}\end{array}} $$
更一般
如果猜測不相等 $ {1}/{20} $ 每個數字的概率，而是值 $ p_i $ 那麼這 400 種可能性就不全是概率了 $ (1/20)\cdot(1/20)={1}/{400} $ ， 但反而 $ {p_i}/{20} $ .
然而，這個概念並沒有什麼不同。答案再次歸結為對角線的總和，並且是 $ \sum_{i=1}^{20} \frac{p_i}{20} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} p_i = \frac{1}{20} $ .
$$ \small{ \begin{array}{rc} & \text{OUTCOME}\ \begin{array}{} \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{S}} \ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{S}} \ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{E}} \ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{U}} \ \require{HTML} \style{display: inline-block; transform: rotate(270deg)}{\text{G}} \ \end{array} &\begin{array}{c|ccccccccccccccccccccccccccc} &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20 \ \hline 1& \color{red}{ \frac{p_{1}}{20}}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}& \frac{p_{1}}{20}\2& \frac{p_{2}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{2}}{20}}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}& \frac{p_{2}}{20}\3& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{3}}{20}}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}& \frac{p_{3}}{20}\4& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{4}}{20}}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& \frac{p_{4}}{20}& 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\frac{p_{19}}{20}\20& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \frac{p_{20}}{20}& \color{red}{ \frac{p_{20}}{20}}\ \end{array}\end{array}} $$
更有趣的是，猜測和結果的兩個概率都不統一（不相等的概率）的情況。例如，我們可以想像將不公平的 d20 滾動兩次。那麼概率將等於期望 $ E[p_i] = \sum_{i=1}^{20} p_i^2 $ . 這將大於 $ \frac{1}{20} $ 如果 $ p_i $ 是不平等的。