生成函數中的“t”是什麼？
我正在研究應用於概率的生成函數（矩生成函數、概率生成函數和特徵函數）。我完全了解它們的目的和用途，但我無法掌握定義背後的潛在直覺。有沒有辦法從任何地方派生函數？我在 mgf 和拉普拉斯變換以及 cf 和傅里葉變換之間看到了某種類比。索引 t 代表什麼？
編輯：
我會改寫這個問題。正如 Neil G 好心指出的那樣，維基百科頁面建議矩生成函數是連續隨機變量的概率密度函數的雙面拉普拉斯變換。專注於mgf，它將是：
現在，據我所知，拉普拉斯變換可以看作是冪級數的連續模擬。拉普拉斯變換如何提供連續概率密度函數與其矩之間的任何联系？我可以看到，取函數的導數並在給出時刻（如果積分絕對收斂），但為什麼呢？
從某種意義上說，MGF 只是將一組矩編碼為一個方便的函數的一種方式，您可以使用該函數做一些有用的事情。
變量 $ t $ 與隨機變量無關 $ X $ . 你可以很容易地寫 $ M_X(s) $ 要么 $ M_X(u) $ …它本質上是一種虛擬變量。除了作為 mgf 的論點之外，它不代表任何東西。
Herbert Wilf [1] 調用生成函數：
一根晾衣繩，我們在上面掛著一系列數字以供展示
將它們掛在哪條晾衣繩上真的無關緊要。另一個也可以。
有沒有辦法從任何地方派生函數？
將一組矩轉換為生成函數的方法不止一種（例如，離散分佈具有概率生成函數、矩生成函數、累積生成函數和特徵函數，您可以恢復矩（在某些情況下更少）直接比其他人）來自他們中的任何一個。
所以沒有一種獨特的方法可以將一組時刻編碼為一個函數。關於如何設置它是一個選擇問題。雖然它們相似（並且自然相關），但有些對於特定類型的任務更方便。
我在 mgf 和拉普拉斯變換以及 cf 和傅里葉變換之間看到了某種類比。
不僅僅是一個類比，至少如果我們考慮雙邊拉普拉斯變換（我仍將其表示為 $ \mathcal{L} $ 這裡）。我們看 $ M_X(t) = \mathcal{L}_X(-t) $ 是（至少直到符號變化）真的是拉普拉斯變換（實際上，考慮 $ \mathcal{L}X(-t) =\mathcal{L}{-X}(t) $ ，所以它是翻轉變量的雙邊拉普拉斯變換）。一個人可以很容易地從一個轉換到另一個，並且非常高興地在 mgfs 上使用拉普拉斯變換的結果（而且，就此而言，拉普拉斯變換錶，如果我們牢記這個符號問題）。類似地，特徵函數不僅類似於傅里葉變換，它們是傅里葉變換（同樣，直到參數的符號，除了交換參數的符號對函數的明顯影響之外，它沒有任何意義）。
如果傅立葉變換和拉普拉斯變換幫助您了解 mgfs 和 cfs “是”什麼，您當然應該利用這些直覺，但另一方面，在操作這些東西時並不總是需要直覺。
事實上，在使用 cfs 時，因為它們始終存在並且是獨一無二的，我經常傾向於將它們視為只是通過不同的視角看待的分佈。
我可以看到，取函數的導數並在 t=0 處進行評估給出了時刻（如果積分絕對收斂），但為什麼呢？
因為我們選擇使用的特定生成函數（mgf）被設置為以這種方式工作。為了能夠再次從函數中提取矩集，您需要類似的東西——一種消除所有低階矩（例如微分）並消除所有高階矩（例如將參數設置為 0）的方法這樣您就可以準確地挑選出您需要的那個。為此，您已經需要一些類似於mgf 的東西。同時，如果它有一些其他可以利用的屬性也很好（就像我們對隨機變量使用的各種生成函數一樣），這樣可以進一步限制我們的選擇集。
[1] Wilf, H. (1994) generatefunctionology
, 2nd ed
Academic Press Inc., San Diego