隨機變量的期望除以平均值是多少乙[X一世X¯]乙[X一世X¯]Eleft[frac{X_i}{bar{X}}right]?
讓是 IID 和.
這似乎很明顯，但我在正式推導它時遇到了麻煩。
讓 $ X_1,\dots,X_n $ 是獨立同分佈的隨機變量並定義$$ \bar{X}=\frac{X_1+X_2\dots+X_n}{n}. $$
假設 $ \Pr{\bar{X}\ne 0}=1 $ . 由於 $ X_i $ 是同分佈的，對稱性告訴我們，對於 $ i=1,\dots n $ ，（因）隨機變量 $ X_i/\bar{X} $ 具有相同的分佈： $$ \frac{X_1}{\bar{X}} \sim \frac{X_2}{\bar{X}} \sim \dots \sim \frac{X_n}{\bar{X}}. $$ 如果期望 $ \mathrm{E}[X_i/\bar{X}] $ 存在（這是一個關鍵點），那麼 $$ \mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] = \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] = \dots = \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right], $$ 並且，對於 $ i=1,\dots,n $ ， 我們有 $$ \begin{align} \mathrm{E}\left[ \frac{X_i}{\bar{X}} \right] &= \frac{1}{n} \left( \mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} \right] + \mathrm{E}\left[ \frac{X_2}{\bar{X}} \right] + \dots + \mathrm{E}\left[ \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \right) \ &= \frac{1}{n},\mathrm{E}\left[ \frac{X_1}{\bar{X}} + \frac{X_2}{\bar{X}} + \dots + \frac{X_n}{\bar{X}} \right] \ &= \frac{1}{n},\mathrm{E}\left[ \frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{\bar{X}} \right] \ &= \frac{1}{n},\mathrm{E}\left[ \frac{n\bar{X}}{\bar{X}} \right] \ &= \frac{n}{n},\mathrm{E}\left[ \frac{\bar{X}}{\bar{X}} \right] = 1. \end{align} $$
讓我們看看我們是否可以通過簡單的蒙特卡羅來檢查這一點。
x <- matrix(rgamma(10^6, 1, 1), nrow = 10^5) mean(x[, 3] / rowMeans(x)) [1] 1.00511很好，重複時結果變化不大。