7 次後標記的魚的預期數量是多少？
給定 10 條魚，每次隨機選擇一條魚，標記並放回池中。如果一條魚已經被標記，則構成轉彎，並返回池中。
7 次後標記的魚的預期數量是多少？
是嗎：
對於每條魚，P（第 1 回合標記）或 P（第 2 回合標記）… OR P（第 7 回合標記）= $ \frac{1}{10} * 7 $
因此，對於 10 條魚，7 次後的預期標記魚數（按線性）：$$ \frac{7}{10}*10=7. $$
這是來自 Brilliant.org 的一個類似問題，它詢問：7 次後未標記的魚的預期數量是多少？
每次的思考過程都不會被標記： $ \frac{9}{10} $ .
因此，P（第 1 次未標記）AND P（第 2 次未標記）… AND P（第 7 次未標記）= $ \frac{9}{10}^7. $ 那麼它將是
$$ \frac{9}{10}^7*10 $$
我想澄清的部分是我的思維方式在AND和OR之間是否正確；不是 AND：乘和 OR：總和，而是我是否為標記的版本正確構建了解決方案？我最初對標記魚的直接想法是使用 $ 0.1^7 $ 代替 $ \frac{1}{10} * 7 $ .
抱歉，如果我的要求不清楚。
讓 $ X_t $ 表示之後標記的魚的數量 $ t $ 回合。顯然，給定 $ n=10 $ 總共有魚，和 $ X_t $ 一輪後標記的魚 $ t $ ，你有概率釣到一條已經標記的魚 $ X_t/n $ 和一條沒有標記的魚 $ 1-X_t/n $ 使得條件期望 $ X_{t+1} $ 是 $$ \begin{align} E(X_{t+1}|X_t) &=\frac {X_t} n \cdot X_t+\left(1-\frac {X_t} n\right)(X_t+1) \&=X_t+1-\frac {X_t} n \&=\left(1-\frac1n\right)X_t+1 \end{align} $$ 運用總期望定律，無條件期望 $ X_t $ 滿足 $$ \begin{align} E (X_{t+1}) &= E(E (X_{t+1}|X_t)) \&=E\left(\left(1-\frac1n\right)X_t+1\right) \&=\left(1-\frac1n\right)E X_t+1. \end{align} $$ 與初始條件 $ X_0=0 $ ，這個一階線性非齊次差分方程的解是 $$ E X_t=\left[1 - \left(1-\frac1n\right)^t \right]n. $$ 因此，對於 $ n=10 $ 魚，標記後的預期魚數 $ t=7 $ 回合將是 $$ E X_7=(1-0.9^7)10=5.217031. $$