這個非獨立同分佈伯努利變量的隨機和的概率分佈是多少？

我試圖找到隨機數量的變量之和的概率分佈，這些變量的分佈不同。這是一個例子：

John 在客戶服務呼叫中心工作。他接到有問題的電話並試圖解決這些問題。解決不了的，就交給上級。假設他一天接到的電話數量服從泊松分佈，均值. 每個問題的難度各不相同，從非常簡單的問題（他絕對可以處理）到非常專業的問題，他不知道如何解決。假設概率他將能夠解決第i個問題，遵循帶有參數的 Beta 分佈和並且獨立於前面的問題。他一天解決的電話數量分佈如何？

更正式地說，我有：

為了

在哪裡,和

請注意，現在，我很高興假設是獨立的。我也接受參數和不會相互影響，儘管在現實生活中的例子中大，參數和是這樣的，因此 Beta 分佈在低成功率的情況下具有更大的質量. 但是，讓我們暫時忽略它。

我可以計算僅此而已。我還可以模擬值以了解分佈情況看起來像（看起來像泊松，但我不知道這是否取決於和我嘗試過，或者它是否泛化，以及它如何因不同的參數值而變化）。知道這個分佈是什麼或者我可以如何推導它嗎？

請注意，我也在TalkStats 論壇上發布了這個問題，但我認為它可能會在這裡得到更多關注。為交叉發布而道歉，並在此先感謝您抽出寶貴的時間。

編輯：事實證明（請參閱下面非常有用的答案 - 並感謝那些！），它確實是一個分佈，這是我根據直覺和一些模擬猜測的，但無法證明。不過，我現在發現令人驚訝的是，泊松分佈僅取決於分佈，但不受其方差的影響。

例如，以下兩個 Beta 分佈具有相同的均值但不同的方差。為清楚起見，藍色 pdf 表示和紅色的.

但是，它們都會導致相同的結果在我看來，這似乎有點違反直覺。（不是說結果不對，只是意外！）

調用（即) 根據泊松過程到達。總調用次數服從泊松分佈。將調用分為兩種類型，例如是否或者. 目標是確定生成s。這是微不足道的，如果以固定概率：通過泊松過程的疊加原理，整個過程變薄為s 也是一個泊松過程，速率. 事實上就是這樣，我們只需要一個額外的步驟就可以到達那裡。

邊緣化， 以便

在哪裡是貝塔函數。利用這個事實，以上簡化為；

換句話說，. 由疊加性質，是泊松分佈的比率. 一個數值例子（帶R）……在圖中，垂直線來自模擬，紅點是上面導出的pmf：

draw <- function(alpha, beta, mu) 
{ N <- rpois(1, mu); p = rbeta(N, alpha, beta); sum(rbinom(N, size=1, prob=p)) }

pmf <- function(y, alpha, beta, mu)
 dpois(y, alpha*mu/(alpha+beta))

y <- replicate(30000,draw(4,5,10))
tb <- table(y)

# simulated pmf
plot(tb/sum(tb), type="h", xlab="Y", ylab="Probability")
# analytic pmf
points(0:max(y), pmf(0:max(y), 4, 5, 10), col="red")

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/278897