輝瑞/BioNTech 疫苗沒有/低於研究表明的效果的概率是多少？
據報導，輝瑞/BioNTech 疫苗的功效為 90%。AFAIK，第三階段研究有以下初步結果（截至 11 月 9 日）：
- 43,000 人接種了疫苗，50% 接種了疫苗，50% 接種了安慰劑
- 在這 43,000 人中，有 94 人在研究期間的 Covid-19 檢測呈陽性
- 在這 94 人中，接受疫苗的組中只有不到 9人，其他人則在對照組中。
- 這意味著我們的（初步）功效超過 90%。
讓我們給這些數字一些變量名（讓我們修復一些數字以擺脫“小於”）：
$$ \begin{aligned}[ll] N &= 43'000\N_{vac}&=21'500\N_{cg}&=21'500\C_{vac}&=9\C_{cg} &= 85 \end{aligned} $$
接種組和對照組都有 21,500 名成員。有 $ C_{vac}=9 $ 接種組內的 Covid-19 診斷，以及 $ C_{cg}=85 $ 在對照組。
我想用這些數字來計算概率 $ P_X $ 疫苗有效 $ X $ 或更高。
當然， $ P_X $ 應該有它最陡峭的部分 $ X=90% $ ，因為根據這項研究，這是疫苗最可能的功效。但是，由於隨機效應，我們仍有可能高估了疫苗的功效。
越高 $ N $ 是，我們期望的導數越“窄” $ P_X $ 成為（研究的參與者越多，不確定性越小）。對於非常小的 $ N $ , $ P_X $ 應該非常接近 $ X $ 本身，因為我們對疫苗知之甚少。
我該如何計算 $ P_X $ ?
他們使用Beta-Binomial Bayesian 模型來計算後驗功效（以 PDF 格式鏈接到學習計劃）。
一、讓 $ \pi_v $ 和 $ \pi_c $ 分別是接種疫苗或控制對象感染 Covid-19 的人口概率。群體疫苗效力定義為 $$ \mathrm{VE}=1 - \frac{\pi_v}{\pi_c} $$
統計學家假設參數的先驗分佈 $$ \theta = \frac{1 - \mathrm{VE}}{2 - \mathrm{VE}} $$
代入功效的定義，可以改寫為 $$ \theta = \frac{\pi_v}{\pi_v + \pi_c} $$ 所以 $ \theta $ 是感染 Covid-19 的受試者來自接種組的概率，並且 $ 1-\theta $ 是受試者在對照組的概率。
研究計劃指出，他們假設了一個 Beta（ $ a_0 =0.700102, b_0=1 $ ) 先於 $ \theta $ 這導致先驗平均值 $ \mathrm{E}(\theta)=0.4118 $ 這對應於 30% 功效的先前平均值，因為 $ \mathrm{VE}=(1 - 2\theta)/(1-\theta) $ .
回想一下，後驗只是另一個帶有參數的 Beta 分佈 $ a_1 = a_0 + m_v $ 和 $ b_1 = b_0 + m_c $ 在哪裡 $ m_v $ 和 $ m_c $ 分別表示接種疫苗組和對照組生病的受試者人數。您可以從此後驗分佈計算所有所需的概率（並在有更多數據可用時對其進行更新）。
讓我們用您帖子中提供的數據來說明它。我們有 $ m_v = 9 $ 和 $ m_c = 85 $ 所以後驗 Beta 分佈有參數 $ a_1 = 0.700102 + 9 = 9.700102 $ 和 $ b_1 = 1 + 85 = 86 $ . 我們感興趣的是疫苗具有 90% 或更高功效的概率，這對應於 $ \theta \leq 1/11 $ .
中的計算
R如下：# Priors a0 = 0.700102 b0 = 1 # Posterior a1 = a0 + 9 b1 = b0 + 85 # Critical probability p_crit <- 0.9 theta_crit <- (p_crit - 1)/(p_crit - 2) # Posterior probability pbeta(theta_crit, a1, b1) [1] 0.3982548 # Mode theta_mode <- (a1 - 1)/(a1 + b1 - 2) (1 - 2*theta_mode)/(1 - theta_mode) [1] 0.8976459所以功效大於90%的後驗概率為 $ 0.398 $ 這對應於圖中的灰色區域。後驗 Beta 分佈的模式為 $ 0.093 $ 這轉化為的功效 $ 0.898 $ ，這很好地對應於報告的 90% 的功效。
這是後驗密度圖。紅色垂直線表示 $ \theta $ 低於其功效 $ \geq $ 90%（由灰色區域描繪）：
可以在此博客中找到更詳細的說明。
