Beta分佈從何而來？
我相信這裡的每個人都已經知道，Beta 發行版的 PDF是（誰）給的
我一直在尋找這個公式的起源的解釋，但我找不到它。我發現的關於 Beta 分佈的每篇文章似乎都給出了這個公式，說明了它的一些形狀，然後直接討論它的時刻，然後從那裡開始。
我不喜歡使用我無法推導和解釋的數學公式。對於其他分佈（例如伽馬或二項式），我可以學習和使用明確的推導。但是我在 Beta 發行版中找不到類似的東西。
所以我的問題是：這個公式的起源是什麼？在最初開發的任何背景下，它如何從第一原則推導出來？
[澄清一下，我不是在問如何在貝葉斯統計中使用 Beta 分佈，或者它在實踐中的直觀含義（我已經閱讀了棒球示例）。我只想知道如何導出PDF。之前有一個問題提出了類似的問題，但它被標記為（我認為是錯誤的）與另一個未解決該問題的問題重複，因此到目前為止我無法在這裡找到任何幫助。]
編輯 2017-05-06：感謝大家的提問。我認為我想要的一個很好的解釋來自我向一些課程講師詢問時得到的答案之一：
“我猜人們可以將正常密度推導出為 n 個事物的總和除以 sqrt(n) 的極限，並且您可以從事件以恆定速率發生的想法中推導出泊松密度。類似地，為了推導出貝塔密度，你必須對是什麼使貝塔分佈獨立於密度有某種想法，並且在邏輯上先於密度。”
所以評論中的“從頭開始”的想法可能最接近我正在尋找的東西。我不是數學家，但我覺得使用我能推導出來的數學是最舒服的。如果起源對我來說太先進了，那就這樣吧，但如果不是，我想了解它們。
作為一名前物理學家，我可以看到它是如何推導出來的。物理學家是這樣進行的：
當他們遇到正函數的有限積分時，例如beta 函數：
他們本能地定義了一個密度：
在哪裡 他們經常對各種積分這樣做，以至於它甚至不假思索地反射性地發生。他們將此過程稱為“規範化”或類似名稱。請注意，根據定義，密度如何具有您希望它具有的所有屬性，例如始終為正且加起來為 1。
密度我上面給出的是Beta分佈。
更新
@whuber 詢問 Beta 分佈有什麼特別之處，而上述邏輯可以應用於無限數量的合適積分（正如我在上面的回答中指出的那樣）？
特殊部分來自二項分佈。我將使用與我的 beta 類似的符號來編寫它的 PDF，而不是參數和變量的常用符號：
這裡，- 成功和失敗的次數，以及- 成功的概率。您可以看到這與 Beta 發行版中的分子非常相似。事實上，如果您尋找二項分佈的先驗，它將是 Beta 分佈。這也不足為奇，因為 Beta 的域是 0 到 1，這就是您在貝葉斯定理中所做的：對參數進行積分，也就是這種情況下成功的概率，如下圖：
這裡- 給定 Beta 分佈的先驗設置，成功概率的概率（密度），以及- 給定概率的該數據集的密度（即觀察到的成功和失敗）.