另一個中心極限定理問題
讓是一系列獨立的伯努利隨機變量
放
顯示在分佈上收斂到標準正態變量作為趨於無窮大。
我的嘗試是使用 Lyapunov CLT，因此我們需要證明存在這樣，
所以設置
和
通過在計算機上評估大 n，它顯示了兩者如何和 作為. 但增長快於所以. 有人可以幫我證明這種融合成立嗎？
利用累積量生成函數的性質（正如中心極限定理的標准證明），從第一原理和基本結果證明這一結果可能是有益的。它要求我們了解廣義調和數的增長率
為了 這些增長率是眾所周知的，並且通過與積分的比較很容易獲得: 他們收斂於否則對數發散.
讓和. 根據定義，累積量生成函數 (cgf)是
右手邊的級數展開，從展開得到大約, 採取形式
分數的分子是多項式帶前導詞. 因為對數展開絕對收斂，這個展開式絕對收斂於
（以防萬一它無處不在。）對於固定和增加的價值，（明顯的）分歧意味著絕對收斂域變得任意大。因此，對於任何固定的並且足夠大，這個展開絕對收斂。
對於足夠大，那麼，我們可以因此對個體求和超過逐屆行使職權獲得cgf,
取總和中的條款一次一個要求我們評估與
為了和. 使用引言中提到的廣義調和數的漸近線，很容易從
那
和（對於)
作為變大。因此，擴展中的所有項超過收斂到零，從那裡收斂到對於任何值. 由於 cgf 的收斂意味著特徵函數的收斂，我們從Levy 連續性定理得出結論：逼近一個隨機變量，其 cgf 為：這是標準的 Normal 變量QED。
**這個分析揭示了收斂是多麼微妙：**而在中心極限定理的許多版本中，是（為了)，這裡的係數只有: 收斂速度慢很多。從這個意義上說，標準化變量的序列“幾乎”變成了正常的。
我們可以在一系列模擬中看到這種緩慢的收斂。 直方圖顯示四個值的獨立迭代. 紅色曲線是用於視覺參考的標準正態密度函數圖。儘管有明顯的逐漸趨於正常的趨勢，即使在（在哪裡仍然相當大）仍然存在明顯的非正態性，如偏度（等於在此示例中）。（毫不奇怪，這個直方圖的偏度接近，因為這正是cgf 中的術語是。）
這是
R那些想要進一步實驗的人的代碼。set.seed(17) par(mfrow=c(1,4)) n.iter <- 1e5 for(n in c(30, 100, 300, 1000)) { B.n <- sqrt(sum(rev((((1:n)-1) / (1:n)^2)))) x <- matrix(rbinom(n*n.iter, 1, 1/(1:n)), nrow=n, byrow=FALSE) z <- colSums(x - 1/(1:n)) / B.n hist(z, main=paste("n =", n), freq=FALSE, ylim=c(0, 1/2)) curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2) }
