具有行和列長度約束的隨機矩陣
我需要生成隨機非方陣 $ R $ 行和 $ C $ 列，元素以零均值隨機分佈，並受到約束，使得長度 ( $ L_2 $ 規範）的每一行是 $ 1 $ 每列的長度是 $ \sqrt{\frac{R}{C}} $ . 等效地，平方值之和為 $ 1 $ 對於每一行和 $ \frac{R}{C} $ 對於每一列。
到目前為止，我找到了一種方法來實現這一點：簡單地隨機初始化矩陣元素（例如，從均值為零和任意方差的均勻、正態或拉普拉斯分佈），然後交替地將行和列標準化為長度 $ 1 $ ，以行規範化結束。這似乎很快收斂到預期的結果（例如 $ R=40 $ 和 $ C=80 $ , 列長的方差通常為 ~ $ ~0.00001 $ 後 $ 2 $ 迭代），但我不確定我是否可以依賴這種快速收斂速度（對於各種矩陣維度和初始元素分佈）。
我的問題是：有沒有辦法達到預期的結果（行長 $ 1 $ , 列長 $ \sqrt{\frac{R}{C}} $ ) 直接在行/列標準化之間不進行迭代？例如，用於規範化隨機向量的算法（隨機初始化元素，測量平方和，然後通過公共標量縮放每個元素）。如果沒有，是否有收斂速度的簡單表徵（例如，迭代次數直到錯誤 $ < \epsilon $ ) 上面描述的迭代方法？
正如@cardinal 在評論中所說：
實際上，經過一番思考，我認為您的算法正是Sinkhorn-Knopp 算法，只是做了很小的修改。讓成為你的原始矩陣，讓是一個相同大小的矩陣，使得. 然後，您的算法相當於將 Sinkhorn-Knopp 應用於，在最後一步，您可以通過以下方式恢復所需的形式. Sinkhorn-Knopp 保證收斂，除非在非常病態的情況下。閱讀它應該非常有幫助。
…似乎我在原始問題中建議的迭代算法與 Sinkhorn-Knopp 算法非常相似。有趣的是，它似乎也與迭代比例擬合(IPF) 非常相似，正如 IPF 維基百科頁面上所述，它與牛頓方法和期望最大化（都具有相同的限制）有關。
這些迭代方法通常應用於缺乏封閉形式解決方案的問題，因此我將暫時假設該問題的答案是否定的：沒有行/列迭代就無法獲得所需的解決方案。