指數隨機變量的條件期望

對於隨機變量() 我直覺上覺得應該等於因為通過無記憶特性，分佈是一樣的但向右移動.

但是，我正在努力使用無記憶屬性來提供具體證明。任何幫助深表感謝。

謝謝。

$ \ldots $ 由無記憶屬性分佈 $ X|X > x $ 是一樣的 $ X $ 但向右移動 $ x $ .

讓 $ f_X(t) $ 表示概率密度函數 (pdf) $ X $ . 然後，您正確陳述的數學公式 $ - $ 即，條件pdf $ X $ 鑑於 $ {X > x} $ 是一樣的 $ X $ 但向右移動 $ x $ $ - $ 就是它 $ f_{X \mid X > x}(t) = f_X(t-x) $ . 因此， $ E[X\mid X > x] $ ,的期望值 $ X $ 鑑於 $ {X > x} $ 是 $$ \begin{align} E[X\mid X > x] &= \int_{-\infty}^\infty t f_{X \mid X > x}(t),\mathrm dt\ &= \int_{-\infty}^\infty t f_X(t-x),\mathrm dt\ &= \int_{-\infty}^\infty (x+u) f_X(u),\mathrm du &\scriptstyle{\text{on substituting}~u = t-x}\ &= x + E[X]. \end{align} $$ 請注意，我們沒有明確使用密度 $ X $ 在計算中，如果我們只記得(i) pdf 下的面積是 $ 1 $ (ii) 用 pdf 定義連續隨機變量的期望值。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/48496