如何找到第一次超過第一年降雨量的年數分佈？

讓 $ X_1, X_2, \cdots $ 與邊際 pdf 聯合連續且獨立分佈 $ f(x) $ , 其中每個 $ X_i $ 表示給定位置的年降雨量。如何找到直到第一年降雨的年數分佈 $ (X_1) $ 第一次超過？

我認為這是一個相當直接的問題，但我看不出最合乎邏輯的第一步是什麼。你會如何考慮第一步？

讓我們假設年降雨量可以被認為是一個連續變量（這要求一年中沒有降雨的概率等於零。）以下步驟使我們達到了我們的目標：

1. 首年降雨量具有累積分佈函數 $ F(X_1) $ , 並且眾所周知, $ F(X_1) \sim \text{Uniform}(0,1) $ （概率積分變換）
2. 任何給定連續年份的降雨量超過第一年降雨量的概率為 $ 1-F(X_1) $ , 標記它 $ p $ . （這是因為任何給定的連續年份降雨的概率為 $ \leq $ 第 1 年的降雨量是 $ F(X_1) $ ，所以超過它的概率就是 $ 1-F(X_1) $ 。） 自從 $ F(X_1) \sim \text{Uniform}(0,1) $ , $ p $ 也是； $ 1 - $ 一種 $ \text{Uniform}(0,1) $ 變量也是一個 $ \text{Uniform}(0,1) $ 變量。
3. 年數（ $ k $ ) 直到第一年的降雨量首次超過，條件是 $ p $ , 具有概率參數的幾何分佈 $ p $ ： $ p(k | p) = (1-p)^{k-1}p $ .

去除條件 $ p $ ，我們將幾何分佈與均勻分佈相結合 $ p $ ，它在下面的表達式中“消失”，因為它等於 $ 1 $ 到處：

$$ p(k) = \int_0^1(1-p)^{k-1}p\text{d}p $$

哪一個是 $ \text{Beta}(2,k) $ 功能。擴展此功能會導致：

$$ p(k) = {1 \over k(k+1)}, , k \geq 1 $$

在 R 中快速檢查這（似乎）確實總和 $ 1 $ ：

> sum(beta(2,1:100000))
[1] 0.99999

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/438430