柯西分佈中位置參數的 MLE

居中後，可以假設兩個測量值 x 和 -x是來自具有概率密度函數的柯西分佈的獨立觀測值：

證明如果的 MLE為 0，但如果有兩個 MLE, 等於 ±

我認為要找到 MLE，我必須區分對數似然：

所以，

然後我簡化為

現在我碰壁了。我可能在某些時候出錯了，但無論哪種方式，我都不確定如何回答這個問題。任何人都可以幫忙嗎？

您的計算中有數學錯誤。最大值的一階條件是：

如果那麼括號中的項不能為零（當然對於真正的解決方案），所以你只剩下解決方案.

如果你有所以，除了候選點你也會得到

在這種情況下，您還必須證明原因不再是 MLE。

附錄

為了對數似然圖是

而對於對數似然圖是，

現在你所要做的就是用代數證明它，然後想知道“很好——現在我應該選擇兩者中的哪一個？”

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/98971