標準正態隨機變量平方的 Pdf
給定一個已知的高斯分佈， $ X \sim \mathcal N(\mu_x, \sigma_x^2) $ ，如何確定分佈 $ Y $ 如果 $ Y = X^2 $ ?
您偶然發現了概率論和統計學最著名的結果之一。我會寫一個答案，雖然我確信這個問題之前已經在這個網站上被問過（並回答過）。
首先，請注意 pdf 的 $ Y = X^2 $ 不能與 $ X $ 作為 $ Y $ 將是非負的。導出分佈 $ Y $ 我們可以使用三種方法，即mgf技術、cdf技術和密度變換技術。讓我們開始。
矩生成函數技術。
或特色功能技術，隨心所欲。我們必須找到 $ Y=X^2 $ . 所以我們需要計算期望
$$ E\left[e^{tX^2}\right] $$
使用無意識統計學家定律，我們所要做的就是計算分佈上的積分 $ X $ . 因此我們需要計算
$$ \begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right} dt \ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right} dt \ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align} $$
在最後一行中，我們將積分與均值為零和方差的高斯積分進行了比較 $ \frac{1}{\left(1-2t\right)} $ . 當然，這可以集成到實線上。你現在可以用這個結果做什麼？好吧，您可以應用一個非常複雜的逆變換並確定與此 MGF 對應的 pdf，或者您可以簡單地將其識別為具有一個自由度的卡方分佈的 MGF。（回想一下，卡方分佈是伽馬分佈的一個特例 $ \alpha = \frac{r}{2} $ , $ r $ 是自由度，並且 $ \beta = 2 $ ）。
CDF技術
這可能是您可以做的最簡單的事情，Glen_b 在評論中提出了建議。根據這種技術，我們計算
$$ F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y}) $$
並且由於分佈函數定義了密度函數，在我們得到一個簡化的表達式之後，我們只需區分 $ y $ 獲取我們的 pdf。那時我們有
$$ \begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align} $$
在哪裡 $ \Phi(.) $ 表示標準正態變量的 CDF。區別於 $ y $ 我們得到，
$$ f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y}) $$
在哪裡 $ \phi(.) $ 現在是標準正態變量的 pdf，我們使用了它關於零對稱的事實。因此
$$ f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty $$
我們將其識別為具有一個自由度的卡方分佈的 pdf（您現在可能已經看到了一種模式）。
密度變換技術
此時你可能會想，為什麼我們不簡單地使用你熟悉的轉換技術，即對於一個函數 $ Y = g(X) $ 我們有密度 $ Y $ 是（誰）給的
$$ f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right) $$
為了 $ y $ 在範圍內 $ g $ . 不幸的是，這個定理要求轉換是一對一的，這顯然不是這裡的情況。事實上，我們可以看到兩個值 $ X $ 產生相同的值 $ Y $ , $ g $ 是二次變換。因此，該定理不適用。
然而，適用的是它的延伸。在這個擴展下，我們可以分解支持 $ X $ （支持是指密度不為零的點），分成不相交的集合，使得 $ Y= g(X) $ 定義從這些集合到範圍的一對一轉換 $ g $ . 的密度 $ Y $ 然後由所有這些反函數和相應的絕對雅可比矩陣的總和給出。在上述符號中
$$ f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right) $$
其中總和運行在所有反函數上。這個例子會很清楚。
為了 $ y = x^2 $ ，我們有兩個反函數，即 $ x = \pm \sqrt{y} $ 對應的絕對雅可比行列式 $ \displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} } $ 所以發現對應的pdf是
$$ f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty $$
具有一個自由度的卡方分佈的 pdf。附帶說明一下，我發現這種技術特別有用，因為您不再需要導出轉換的 CDF。但當然，這些都是個人喜好。
所以今晚你可以完全確定標準正態隨機變量的平方服從卡方分佈，具有一個自由度。