使用二階泰勒級數的誤差傳播

我正在閱讀 John Rice 的文章“數學統計和數據分析”。我們關心的是近似隨機變量的期望值和方差. 我們能夠計算隨機變量的期望值和方差我們知道這種關係. 因此，可以近似的期望值和方差使用泰勒級數展開關於.

在第 162 頁，他列出了 3 個方程式。

1. 的期望值使用一階泰勒級數展開。它是：. 這在我的問題後面被稱為.
2. 的方差使用一階泰勒級數展開。它是：. 這在我的問題後面被稱為.
3. 的期望值使用二階泰勒級數展開。它是. 這在我的問題後面被稱為.

請注意，有兩種不同的表達方式因為我們在泰勒級數展開中使用了兩個不同的階數。等式 1 和 2 是指. 等式 3 是指.

請注意，特別是等式沒有給出。後來，作者似乎使用了方差的方程（等式 2），實際上他指的是（等式 3）。這似乎暗示.

我試圖用手計算，我得到了一個有點複雜的表達。這是我的工作（我停下來是因為最後我得到了期望中的條款）：

請注意，在上述等式中，,， 和. 什麼是?

謝謝。

假設，我們可以推導出的近似方差使用二階泰勒展開式關於如下：

正如@whuber 在評論中指出的那樣，這可以通過使用. 中心矩定義為. 請注意. 使用這個新符號，我們有

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/13004