總和nnn帶參數的泊松隨機變量1n1nfrac 1 n
我一直在研究教科書的練習，偶然發現了以下問題：
一個懷疑論者給出了以下論點來證明中心極限定理一定存在缺陷：“我們知道獨立泊松隨機變量之和遵循泊松分佈，其參數是被加數的參數之和。特別是，如果 $ n $ 獨立泊松隨機變量，每個變量都有參數 $ n^{−1} $ , 相加，總和具有帶參數的泊松分佈 $ 1 $ . 中心極限定理說， $ n $ 接近無窮大時，和的分佈趨於正態分佈，但帶參數的泊松 $ 1 $ 不正常。” 你怎麼看這個論點？
我的第一個直覺是他錯了，但我不太知道如何用語言來表達。我認為缺陷在於假設總和 $ n $ 條款為 $ n \rightarrow \infty $ 仍然會產生一個帶有參數的泊松隨機變量 $ 1 $ . 但我不太清楚如何證明這是否屬實。
任何提示將不勝感激！
你怎麼看這個論點？
這是一個巧妙的魔術示例：陳述中心極限定理的錯誤版本以分散讀者的注意力，使用與中心定理不同的假設，然後聲稱中心極限存在缺陷定理。所以我對這個論點不以為然。
中心極限定理 (CLT) 的最簡單版本是關於極限分佈（如 $ n $ 傾向於 $ \infty $ ) 的數量 $$ \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} $$在哪裡 $ X_1, X_2, \cdots $ 是具有共同（有限）均值的獨立隨機變量 $ \mu $ 和共同（有限）標準偏差 $ \sigma $ . 極限分佈是標準正態隨機變量的分佈。更一般的 CLT 版本說 CLT 的結論（極限分佈是標準正態隨機變量的分佈）在稍弱的條件下成立 $ X_i $ . 但沒有任何版本的 CLT 聲稱總和的限制分佈 $$ X_1 + X_2 + \cdots + X_n $$是正態分佈（確實沒有極限分佈），也沒有聲稱平均值的極限分佈
$$ \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n} $$
是正態分佈。事實上，弱大數定律表明平均值的極限分佈是退化的，其所有概率都集中在 $ \mu $ .
對於 OP 從他的教科書中引用的陳述，確實是這樣的總和 $ n $ 獨立泊松隨機變量 $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 帶參數 $ \frac 1n $ 是帶參數的泊松隨機變量 $ 1 $ ; 但當 $ n $ 增加到 $ n+1 $ , $ X_1, X_2, \cdots, X_n $ 不再是帶參數的泊松隨機變量 $ \frac 1n $ ：他們已經變成了帶參數的泊松隨機變量 $ \frac{1}{n+1} $ . 隨機變量定義中的這種可變性如何 $ n $ 以任何合理的方式增加符合 CLT 假設的內容？
胡言亂語！看屏幕而不是幕後的東西！