Friedman 檢驗非常顯著，但其事後比較 (SPSS) 不顯著
我在 SPSS 22 中對我的數據進行了非參數弗里德曼檢驗，並顯著拒絕了空值。這意味著在配對樣本（在我的例子中是 3 個），應該至少檢測到兩個分佈不均的樣本——一個往往大於另一個。因此，事後比較是合理的。
但是，如果我進一步運行 SPSS內置的 post-Friedman post-hoc pairwise multiple comparisons，根據這個 SPSS note，它基於 Dunn’s (1964) 方法和 Bonferroni 校正，我得到所有對的非顯著性. 弗里德曼的綜合意義非常有說服力（)，但成對事後檢驗的結果都不顯著，即使對於沒有 Bonferroni 調整的數據也是如此。
為什麼會這樣？我做錯了還是SPSS？
什麼是正確的弗里德曼事後成對檢驗？
示例數據集在此處作為 SPSS 數據提供，或如下打印：
V1 V2 V3 5 5 5 4 4 5 5 3 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 5 5 3 3 3 4 4 5 3 5 2 5 5 5 3 3 5 4 4 4 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 5 5 5 4 4 4 4 5 4 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 5 5 4 5 5 5 5 5 4 5 4 4 5 5 5 4 4 4 4 4 4 5 4 3 5 5 4 4 5 4 5 5 5 5 5 5 4 4 4 5 5 4 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 3 4 4 4 5 5 4 4 4 5 4 5 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 4 4 5 4 4 2 2 3 4 4 5 4 4 4 5 4 5 4 4 3 4 4 4 4 4 5 5 2 5 4 3 5 4 4 4 4 5 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 4 5 3 5 5 5 5 5 4 5 5 3 5 2 3 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 5 5 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5 3 5 5 5 5 5 3 5 5 4 5 5 3 5 5 3 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5 4 5 5 3 5 5 5 5 5 3 5 5 5 5 5 3 5 5 4 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 5 5 3 5 4 3 5 4 5 5 5 3 3 4 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 3 2 4 3 2 4 4 4 5 5 5 5 3 1 2 5 4 1 5 4 5 5 5 5 5 4 3 4 5 4 2 3 5 3 2 1 3 2 2 5 5 5 4 4 5 5 5 1 5 3 3 3 3 4 5 3 4 4 5 5 5 4 3 5 1 4 4 2 2 4 4 2 5 2 1 4 4 5 5 3 5 5 3 5 2 5 4 4 3 4 5 4 4 5 2 1 5 4 2 3 1 5 4 4 5 5 4 2 3 4 1 5 3 2 5 4 5 4 1 5 5 4 5 4 3 5 5 4 5 4 5 5 5 4 4 5 2 2 4 5 4 4 4 5 5 5 3 4 5 4 5 4 4 5 4 4 5 5 5 4 4 4 5 5 5 5 4 3 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 4 4 5 5 5 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 4 5 4 4 4 5 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 5 5 5 4 5 4 5 4 5 5 5 4 5 4 4 5 5 5 5 2 3 5 2 2 5 2 1 1 1 1 4 4 3 4 4 4 5 4 4 5 5 4 5 4 5 5 4 3 3 5 5 4 3 4 4 3 4 4 4 5 4 4 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 4 4 5 5 5 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 5 2 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 4 4 5 4 4 5 5 5 5 5 5 4 5 4 4 4 4 4 3 4 4 4 3 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 4 5 4 5 5 5 1 5 4 5 4 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 2 5 5 5 5 3 4 5 5 5 5 4 4 4 5 4 4 5 4 5 5 5 5 4 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
SPSS 算法指出，在弗里德曼測試後進行成對比較時，他們使用鄧恩(1964) 程序。我沒有讀過 Dunn 的原始論文，所以我不能說 SPSS 是否正確地遵循了它，但我只是按照上述 SPSS 算法文檔對弗里德曼的測試及其事後成對比較進行了編程，我確認沒有錯誤，我的結果與問題中顯示的 SPSS 輸出和 OP 相同。（在這裡查看我的代碼）。
根據鄧恩的方法（如 SPSS 所執行的那樣），檢驗統計量只是被比較的兩個樣本（變量）的平均值的差異，即在將值轉換為****案例內的等級後的差異。（這是弗里德曼測試計算留下的排名，即[
k=3在我們的示例數據中]每種情況下的值，並為平局分配平均排名。）統計的 St. 錯誤是. 它將測試統計量劃分為標準化統計量這是插入聖。正態分佈以給出（Bonferroni 尚未校正的）2 面顯著性。這個對比測試看起來很保守。它沒有稱讚這對
V1-V2重要：Z=1.838, p=.066儘管綜合弗里德曼是非常重要的：p=.002。相比之下，對的符號測試V1-V2（無論您是在原始值上還是在弗里德曼左邊的行列上執行它，它都是相同的）具有Z=3.575, p=.0004.SPSS“鄧恩方法”相當保守的一個原因是它的st。誤差公式佔所有，而不是 2 個變量。
它不如 Sign 測試強大的另一個原因是它基於所有案例，包括有關係的案例，而 Sign 測試會丟棄有關係的案例；我們的數據中有很多相關的案例。例如在這個Q/A中觀察到了權力問題以及在諸如 Sign 等測試中處理關係的問題。
我拿了
V1和V2，對於有關係的情況，以隨機方式解開它們（通過添加負噪聲或正噪聲），併計算符號測試（現在基於所有當然是案例）。500 次這樣的試驗給了我mean Z=1.927，現在離Z=3.575觀察到的 Dunn’s 的保守主義道路越來越近了Z=1.838。我對 SPSS 的“Dunn”成對比較不滿意，因為它們太保守/太弱了。我們預計，如果綜合測試很重要，事後測試將經常確認它，如果不是的話。在我們的示例中，即使 Bonferroni 未校正的 p 值也無法支持綜合結論。
SPSS 在採用弗里德曼事後測試的“鄧恩方法”（最初為 Kruskal-Wallis 提出；另見此Q/A）方面是否完全正確？我不能說，幾乎不是多重比較方面的專家。我會鼓勵知道它的人在此線程上發表評論或發布非常有用的答案。
PS 我很清楚，雖然弗里德曼測試可以看作是符號測試從 2 到樣本（變量），弗里德曼之後的成對事後檢驗不是也不應該完全是符號檢驗。也不是 Wilcoxon 配對樣本檢驗。“鄧恩方法”（如果適用於配對樣本情況）在事後看起來是合理的，因為它比較了弗里德曼獲得的“水平”排名，並反映了所有的樣品。然而，困擾我的是，在帖子的示例中，這種方法顯得過於保守。
後期加法。對我來說，在弗里德曼在 SPSS 中的測試之後實施的鄧恩方法是不正確的。它不會以與父綜合測試 (Friedman) 相同的方式調整**關係。**實際上，它根本不會針對關係進行調整，而應該。（在上面的當前答案中涉及到關係處理的問題。）
弗里德曼檢驗統計量的公式（在SPSS 算法中解釋）是
公式的分母包含平局的調整。如果然後數量是兩個變量相等（並列）的情況的比例。
考慮使用我們的變量
V1和V2(）。有聯繫的病例比例為287/400=.7175，檢驗統計量13.460, df=1具有顯著性p=.00024。但是按照 SPSS 公式計算的“鄧恩”比較將是Sample1 Sample2 MeanRank1 MeanRank2 TestStat StError Z Sig2side AdjSig V1 V2 1.54875 1.45125 .0975 .0500 1.9500 .05118 .05118無關緊要。為什麼？沒有對領帶進行適當的（弗里德曼風格）調整。
只有當著數據中的樣本 正確的事後成對比較測試必須給出與綜合測試相同的結果（統計量和 p 值） - 它實際上是證明事後測試對應於（同構）父綜合測試的屬性。Kruskal-Wallis 檢驗和 Dunn 檢驗確實如此 - 只需按照 SPSS 算法對其進行編程，並使用兩個獨立組進行測試
V1，KW 和 DunnV2都會得到相同的結果。p=.0153但是我們看到，弗里德曼檢驗與“鄧恩方法”後弗里德曼比較檢驗之間的關係中不存在類似的等價性。結論。在弗里德曼檢驗有缺陷後，SPSS（版本 22 及更早版本）正在執行事後多重比較檢驗。也許沒有關係時是正確的，但我不知道。事後檢驗並沒有像弗里德曼那樣處理關係（雖然它應該這樣做）。關於聖的公式，我無話可說。錯誤，
sqrt[k*(k+1)/(6n)]他們正在使用：它來自離散均勻分佈，但他們沒有寫出如何；這是正確的嗎？要么“鄧恩檢驗方法”不適用於 SPSS，要么鄧恩檢驗根本不能適應弗里德曼。