我正在嘗試建模和預測一個循環而不是季節性的時間序列（即有類似季節性的模式，但沒有固定的周期）。這應該可以使用 ARIMA 模型來完成，如預測：原則和實踐第 8.5 節所述：

的價值如果數據顯示週期很重要。為了獲得周期性預測，需要有以及參數上的一些附加條件。對於 AR(2) 模型，如果發生循環行為.

在一般 ARIMA(p,d,q) 情況下，這些*參數的附加條件是什麼？*我無法在任何地方找到它們。

一些圖形直覺

在AR 模型中，循環行為來自複共軛根到特徵多項式。首先給出直覺，我在下面的兩個示例 AR(2) 模型中繪製了脈衝響應函數。

1. 具有復雜根源的持續過程。
2. 一個具有真正根源的持久過程。

為了 $ j=1,\ldots, p $ , 特徵多項式的根是 $ \frac{1}{\lambda_j} $ 在哪裡 $ \lambda_1, \ldots, \lambda_p $ 是的特徵值 $ A $ 我在下面定義的矩陣。具有復共軛特徵值 $ \lambda = r e^{i \omega t} $ 和 $ \bar{\lambda}= r e^{-i \omega t} $ ， 這 $ r $ 控制阻尼（其中 $ r \in [0, 1) $ ） 和 $ \omega $ 控制餘弦波的頻率。

詳解AR(2)示例

假設我們有 AR(2)：

$$ y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t $$

您可以將任何 AR(p) 寫為 VAR(1)。在這種情況下，VAR(1) 表示為：

$$ \underbrace{\begin{bmatrix} y_t \ y_{t-1} \end{bmatrix} }{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \ 1 & 0 \end{bmatrix}}{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \ y_{t-2} \end{bmatrix}}{X{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \ 0 \end{bmatrix}}_{U_t} $$ 矩陣 $ A $ 控制動態 $ X_t $ 因此 $ y_t $ . 矩陣的特徵方程 $ A $ 是： $$ \lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0 $$ 的特徵值 $ A $ 是： $$ \lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} $$ 的特徵向量 $ A $ 是： $$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \ 1 \end{bmatrix} $$

注意 $ \operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t $ . 形成特徵值分解和提升 $ A $ 到 $ k $ 權力。 $$ A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix} $$

真正的特徵值 $ \lambda $ 當你提高時會導致腐爛 $ \lambda^k $ . 具有非零虛部的特徵值導致循環行為。

具有虛部情況的特徵值： $ \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0 $

在 AR(2) 上下文中，我們有復特徵值，如果 $ \phi_1^2 + 4\phi_2 < 0 $ . 自從 $ A $ 是真實的，它們必須成對出現，它們是彼此的複共軛。

根據 Prado and West (2010) 的第 2 章，讓 $$ c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1} $$

您可以顯示預測 $ \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] $ 是（誰）給的：

$$ \begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*} $$

鬆散地說，添加複共軛會抵消它們的虛部，從而在實數空間中留下一個阻尼餘弦波。（注意我們必須有 $ 0 \leq r < 1 $ 為了平穩。）

如果你想找到 $ r $ , $ \omega $ , $ a_t $ , $ \theta_t $ ，首先使用歐拉公式 $ re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta $ ，我們可以寫：

$$ \lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2} $$ $$ \omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right) $$

$$ a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right) $$

附錄

注意*令人困惑的術語警告！*將 A 的特徵多項式與 AR(p) 的特徵多項式聯繫起來

另一個時間序列技巧是使用滯後運算符將 AR(p) 寫為：

$$ \left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t $$

替換滯後算子 $ L $ 有一些變量 $ z $ 人們經常提到 $ 1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p $ 作為 AR(p) 模型的特徵多項式。正如這個答案所討論的，這正是 的特徵多項式 $ A $ 在哪裡 $ z = \frac{1}{\lambda} $ . 根 $ z $ 是特徵值的倒數。（注意：為了模型是靜止的，你想要 $ |\lambda| < 1 $ ，即在單位圓內，或等價地 $ |z|>1 $ ，即在單位圓之外。）

參考

Prado、Raquel 和 Mike West，時間序列：建模、計算和推理，2010

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/338473