不可逆 MA 模型是否暗示過去觀察的影響隨著距離的增加而增加？
**更新 (2019-06-25)：將標題從“不可逆 MA 模型有意義嗎？” 將其與Question 333802區分開來。
在復習 MA( $ q $ ) 模型，我遇到了這些幻燈片（Alonso 和 Garcia-Martos，2012 年）。作者指出，雖然所有 MA 過程都是靜止的，但如果它們不可逆，則
“過去觀察的影響隨著距離的增加而增加的矛盾情況。 ”
這可以從 MA(1) 過程的分解中看出： $$ y_t = \epsilon_t - \theta \epsilon_{t-1} $$ 進入 $$ y_t = \epsilon_t -\sum_{i=1}^{t-1} \theta ^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0, $$ 哪裡清楚 $ |\theta|>1 $ 轉化為對現在的影響越來越大的歷史。關於這件事有兩件事困擾我：
- 不難想像某事的影響會出現一段時間滯後的情況
- 這個交叉驗證的帖子有一個答案，聲稱：
“可逆性並不是什麼大問題，因為幾乎任何高斯、不可逆 MA(q) 模型都可以更改為代表相同過程的可逆 MA(q) 模型”
過去觀察的影響是否隨著距離的增加而增加？如果是這樣，這是否會使模型不適合描述現實世界的現象？
**更新（2019-11-09）**在文本時間序列分析及其應用（Shumway 和 Stoffer，第 85 頁）中找到了這一點，它也支持 MA 模型是否不可逆並不重要，但我們為方便起見，可能要選擇模型的不可逆版本。
沒什麼大不了的 - 它非常穩定並且接近白噪聲
不可逆的 $ \text{MA}(1) $ 過程非常有意義，並且沒有表現出任何特別奇怪的行為。對於任何向量，採用該過程的高斯版本 $ \mathbf{y} = (y_1,…,y_n) $ 由連續的觀察組成，我們有 $ \mathbf{y} \sim \text{N}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma}) $ 有協方差：
$$ \mathbf{\Sigma} \equiv \frac{\sigma^2}{1+\theta^2} \begin{bmatrix} 1+\theta^2 & -\theta & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \ -\theta & 1+\theta^2 & -\theta & \cdots & 0 & 0 & 0 \ 0 & - \theta & 1+\theta^2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1+\theta^2 & -\theta & 0 \ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\theta & 1+\theta^2 & -\theta \ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\theta & 1+\theta^2 \ \end{bmatrix}. $$
正如你所看到的，這是一個強平穩的過程，並且超過一個滯後的觀察是獨立的，即使當 $ |\theta|>1 $ . 這並不奇怪，因為這樣的觀察並沒有受到潛在白噪聲過程的任何影響。似乎沒有任何行為“過去的觀察隨著距離的增加而增加”，並且您所說的等式並沒有建立這一點（見下文進一步討論）。
事實上，作為 $ |\theta| \rightarrow \infty $ （這是您正在考慮的現象的最極端情況）該模型漸近地簡化為微不足道的白噪聲過程。這完全不足為奇，因為第一滯後誤差項上的一個大係數支配了並發誤差項上的單位係數，並將模型漸近地移向形式 $ y_t \rightarrow \theta \epsilon_{t-1} $ ，這只是基礎白噪聲過程的縮放和移位版本。
**關於您的方程式的註釋：**在您問題的方程式中，您將可觀察時間序列的當前值寫為過去值的幾何遞增總和，加上剩餘的誤差項。斷言這表明“過去觀察的影響隨著距離的增加而增加”。然而，該等式涉及大量抵消項。為了看到這一點，讓我們擴展過去的可觀察項以顯示項的取消：
$$ \begin{equation} \begin{aligned} y_t &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0 \[6pt] &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i (\epsilon_{t-i} - \theta \epsilon_{t-i-1}) - \theta^t \epsilon_0 \[6pt] &= \epsilon_t - ( \theta \epsilon_{t-1} - \theta^2 \epsilon_{t-2} ) \[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^2 \epsilon_{t-2} - \theta^3 \epsilon_{t-3} ) \[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - ( \theta^3 \epsilon_{t-3} - \theta^4 \epsilon_{t-4} ) \[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - \ \cdots \[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^{t-1} \epsilon_1 - \theta^t \epsilon_0 ). \[6pt] \end{aligned} \end{equation} $$
從這個擴展中我們可以看出，可觀察時間序列的過去值的幾何遞增總和僅僅是為了得到前一個誤差項：
$$ \epsilon_{t-1} = \sum_{i=1}^{t-1} \theta^{i-1} y_{t-i} + \theta^{t-1} \epsilon_0. $$
這裡發生的只是你試圖以一種尷尬的方式表達前面的錯誤術語。序列的幾何加權值的長抵消總和等於所需誤差項這一事實並不能證明過去的觀察結果對當前時間序列值有“影響”。它只是意味著如果你想表達 $ \epsilon_{t-1} $ 按照 $ \epsilon_0 $ 那麼你可以做到的唯一方法是添加可觀察序列的幾何加權總和。