計算移動標準差所產生的時間序列的自相關函數是什麼？
假設我有一個時間序列的觀測值，並且我將該時間序列的方差的度量計算為寬度滾動窗口中的標準偏差 (SD)並且該窗口在系列上以單個時間步長移動。進一步假設， 在哪裡是觀察的數量，並且窗口是右對齊的；我必須觀察在我開始產生時間序列 SD 的移動窗口估計之前，序列的值。
SD值的新時間序列的ACF是否有預期形式？我認為對先前值的依賴將與窗口有關, 但是這樣一個系列的 ACF 是否與一個過程？
背景
我試圖通過移動窗口推導原始時間序列方差的時間序列的含義。在計算了 SD 值的派生系列之後，通常應用的下一步是查看派生的 SD 值系列中是否存在某種趨勢。由於派生系列中的每個值在某種程度上取決於原始系列的先前值，因此派生系列的值不是獨立的。因此，一個經常出現的問題是如何解釋這種缺乏獨立性。
這種計算（移動窗口）通常針對時間序列進行，以尋找即將發生的閾值響應（所謂的臨界轉換）的指標證據（增加方差，增加 AR(1) 係數）。
滾動標準差的 ACF 一般不能從時間序列的 ACF 中得到，因為滾動標準差本質上是一個非線性濾波器。
為避免邊界效應採取是一個均值為 0 的雙重無限平穩過程。據我了解滾動窗口計算，我們引入滾動方差估計器
這是平方過程的向後移動平均值。標準差，為, 更是非線性濾波器。然而，是平方過程的因果線性濾波器，因此它的 ACF 可以從. 如果時間序列是 iid 變量的序列，那麼平方過程也是如此，在這種情況下 是一個文學碩士所有權重等於的過程. 另一方面，使用 ARCH(1) 模型，我們可以找到過程本身是白噪聲過程但平方過程不是的示例。事實上，對於 ARCH(1) 模型，平方過程的 ACF 與 AR(1) 過程的 ACF 一致，在這種情況下，滾動方差的 ACF 與 AR(1) 的移動平均值相同） 過程。 顯然，上面的計算是理想化的，因為在實踐中我們可能還會使用滾動平均值來使時間序列居中。正如我所看到的，這只會更加混亂顯式計算。
通過對時間序列（ARCH 結構或高斯分佈）的明確假設，您有一定的機會可以計算平方過程的 ACF，並由此計算滾動方差的 ACF。
在更定性的層面上，滾動方差和滾動標準偏差將繼承時間序列本身的遍歷性和各種混合屬性。如果您想應用（非線性）時間序列分析和隨機過程中的通用工具來評估滾動標準偏差是否是平穩的（我理解這是感興趣的），這將非常有用。