Time-Series
為什麼頻域中的乘法等於時域中的捲積？
這個問題是在理解如何獲得兩個 iid 隨機變量之和的分佈的背景下出現的。我正在研究這個問題的最佳答案考慮總和均勻分佈， 要么. 為什麼PDF中的風口浪尖消失? ，試圖理解為什麼特徵函數的行為方式如此。
標題是整個問題。
假設我們可以找到一個（可測量的）函數在具有以下屬性的實數上定義
對於所有數字和 並且有一個有限的正數為此對所有人. 注意如何涉及加法（這是出現在卷積中的基本操作）和乘法。
為什麼這些屬性有用？認為和是獨立的隨機變量。讓是任何實數。然後（以相反的順序佔用這兩個屬性）
- （有類似的表達) 表明隨機變量的期望和存在且是有限的，有一個統一的界限獨立於.
這個取隨機變量的過程並將其轉換為函數
從而分配一個定義明確的有界函數對每個隨機變量——不管有什麼可怕的特性可能有。 2. 因為和是獨立的。寫的稍有不同，
也就是轉化 將捲積（隨機變量的加法）轉換為（逐點）函數的乘法。
可以說的更多：參見有關傅立葉分析的文獻。但與此同時，這個問題已經以一種方式得到了回答，表明“時間”和“頻率”可能是紅鯡魚：將捲積轉換為乘法的基本屬性僅依賴於存在一個不錯的.
唯一具有定義屬性的實值函數是和. 它們導致沒有任何用處。但如果我們允許有復雜的值，然後就是這樣一種功能，它會產生有用的結果。（此外，所有這些派生自這個：它們必須是形式對於一些固定的實數。） 在這種情況下稱為特徵函數.
不難看出，當不完全為零，必須始終相等, 無論如何是。這樣的函數稱為（複數）乘法字符（實數的加法組）。