為什麼隨機遊走的方差會增加？
隨機遊走定義為 $ Y_{t} = Y_{t-1} + e_t $ ， 在哪裡 $ e_t $ 是白噪聲。表示當前位置是前一個位置的總和 + 一個不可預測的項。
可以證明均值函數 $ \mu_t = 0 $ ， 自從
$$ E(Y_{t}) = E(e_1+ e_2+ … +e_t) = E(e_1) + E(e_2) +… +E(e_t) = 0 + 0 + \cdots + 0 $$
但是為什麼方差會隨著時間線性增加呢？
這是否與它不是“純”隨機的有關，因為新位置與前一個位置非常相關？
編輯：
現在通過可視化隨機遊走的大樣本，我有了更好的理解，在這裡我們可以很容易地觀察到整體方差確實隨著時間的推移而增加，
並且平均值與預期的一樣接近於零。
也許這畢竟是微不足道的，因為在時間序列的早期階段（比較時間 = 10 和時間 = 100），隨機遊走者還沒有時間去探索那麼多。
簡而言之，因為它不斷將下一個增量的方差添加到我們到達現在位置的可變性中。
$ \text{Var}(Y_{t}) = \text{Var}(e_1+ e_2+ … +e_t) $
$ \qquad\quad;;= \text{Var}(e_1) + \text{Var}(e_2) +… +\text{Var}(e_t) $ （獨立）
$ \qquad\quad;;= \sigma^2 + \sigma^2 + … + \sigma^2=t\sigma^2,, $
我們可以看到 $ t\sigma^2 $ 隨著線性增加 $ t $ .
每個時間點的均值為零；如果您多次模擬該系列並在給定時間內對系列進行平均，那將平均接近 0
$ \quad^{\text{Figure: 500 simulated random walks with sample mean in white and }} $
$ \quad^{ \pm \text{ one standard deviation in red. Standard deviation increases with } \sqrt{t},.} $
