從 PDF 中查找均值和方差
隨機變量可以用它的PDF來表示
是一個正整數並且是一個正參數。如果你如何找到均值和方差？
我的猜測是插入當然，然後從到無窮遠。至於差異，我真的不知道。我有一段時間沒有統計數據了，所以我承認我有點生疏了。任何線索/幫助表示讚賞。謝謝！
我會給你一些提示，讓你從你的 pdf 中計算平均值和方差。
首先，記住單變量連續隨機變量的期望值 $ E[X] $ 定義為 $ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty}{x f(x) dx} $ 如此處所解釋的，其中積分的範圍對應於樣本空間或支持（例如， $ (-\infty, \infty) $ 對於高斯分佈， $ (0, \infty) $ 對於指數分佈）。
其次，隨機變量的平均值就是它的期望值： $ \mu = E[X] = \int_{-\infty}^{\infty}{x f(x) dx} $ . 看起來你已經涵蓋了。
三、連續隨機變量方差的定義 $ Var(X) $ 是 $ Var(X) = E[(X-\mu)^2] = \int_{-\infty}^{\infty}{(x-\mu)^2 f(x) dx} $ , 詳細在這裡。同樣，您只需要求解支持中的積分。或者，有時更容易依賴等價表達式 $ Var(X) = E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - (E[X])^2 $ ，其中第一項是 $ E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty}{x^2 f(x) dx} $ （參見第二段中期望的定義），第二項是 $ (E[X])^2 = \mu^2 $ .
最後，您不需要為參數選擇任意值 $ \theta $ 並將其插入pdf。無論如何，您都可以求解均值和方差。例如，參見二項式的均值和方差（離散隨機變量使用求和而不是積分）。
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