你將如何向只了解均值的人解釋協方差？
…假設我能夠以直觀的方式增加他們關於方差的知識（直觀地理解“方差”）或者說：這是數據值與“平均值”的平均距離 - 因為方差是平方的單位，我們取平方根以保持單位相同，這稱為標準偏差。
讓我們假設“接收者”清楚地表達並（希望）理解了這一點。現在什麼是協方差，如何在不使用任何數學術語/公式的情況下用簡單的英語解釋它？（即，直觀的解釋。;）
請注意：我確實知道這個概念背後的公式和數學。我希望能夠以一種易於理解的方式“解釋”相同的內容，而不包括數學；即，“協方差”是什麼意思？
有時我們可以用一種不尋常或不同的方法來“增加知識”。我希望這個回復能被幼兒園的孩子們看到，並且也能獲得一些樂趣，所以每個人都拿出你的蠟筆！
給定配對 $ (x,y) $ 數據，繪製它們的散點圖。（年幼的學生可能需要老師為他們製作這個。:-) 每對點 $ (x_i,y_i) $ , $ (x_j,y_j) $ 在該圖中確定一個矩形：它是最小的矩形，其邊平行於軸，包含這些點。因此，這些點要么位於右上角和左下角（“正”關係），要么位於左上角和右下角（“負”關係）。
**繪製所有可能的此類矩形。**將它們透明地著色，使正矩形變為紅色（例如），將負矩形變為“反紅色”（藍色）。以這種方式，在矩形重疊的地方，它們的顏色要么在它們相同時增強（藍色和藍色或紅色和紅色），要么在它們不同時抵消。
（在這個正（紅色）和負（藍色）矩形的插圖中，重疊應該是白色的；不幸的是，這個軟件沒有真正的“反紅”顏色。重疊是灰色的，所以它會使情節，但總體上紅色的淨量是正確的。）
現在我們準備好解釋協方差了。
協方差是圖中紅色的淨數量（將藍色視為負值）。
以下是一些示例，其中 32 個副正態點從具有給定協方差的分佈中提取，從最負（最藍）到最正（最紅）排序。
它們被繪製在公共軸上以使它們具有可比性。矩形被輕輕勾勒，以幫助您查看它們。這是原始版本的更新（2019 年）版本：它使用的軟件可以正確取消重疊矩形中的紅色和青色。
讓我們推導出協方差的一些性質。 任何實際繪製了一些矩形的人都可以理解這些屬性。:-)
- **雙線性。**因為紅色的數量取決於繪圖的大小，所以協方差與 x 軸上的比例和 y 軸上的比例成正比。
- **相關性。**協方差隨著點接近向上傾斜的線而增加，並且隨著點接近向下傾斜的線而減小。這是因為在前一種情況下，大多數矩形是正的，而在後一種情況下，大多數是負的。
- **與線性關聯的關係。**因為非線性關聯可以創建正負矩形的混合，它們會導致不可預測的（並且不是非常有用的）協方差。線性關聯可以通過前兩個表徵來完全解釋。
- **對異常值的敏感性。**幾何異常值（遠離質量的一個點）將創建許多與所有其他點相關的大矩形。它本身就可以在整體畫面中產生淨正或負的紅色量。
順便說一下，這個協方差的定義與通常的定義不同，只是有一個通用的比例常數（與數據集大小無關）。有數學傾向的人可以毫不費力地進行代數證明，即這裡給出的公式總是兩倍於通常的協方差。
