直覺（幾何或其他）𝑉𝑎𝑟(𝑋)=𝐸[𝑋2]−(𝐸[𝑋])2Var(X)=E[X2]−(E[X])2Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

考慮方差的基本恆等式：

這是將中心矩定義為非中心矩的簡單代數操作。

它允許方便地操作在其他情況下。它還允許通過單遍數據而不是兩遍來計算方差，首先計算平均值，然後計算方差。

但這意味著什麼？對我來說，沒有直接的幾何直覺可以將均值的散佈與 0 的散佈聯繫起來。因為是一個單一維度上的集合，您如何將圍繞均值的散佈視為圍繞原點散佈和均值平方之間的差異？

是否有任何好的線性代數解釋或物理解釋或其他可以洞察這個身份的？

如果在評論中擴展@whuber 的觀點和是正交的，你有勾股定理：

請注意是一個有效的內積，並且是由該內積引起的範數。

讓是一些隨機變量。讓， 讓. 如果和是正交的：

很容易證明和在這個內積下是正交的：

三角形的一條腿是，另一條腿是, 斜邊是. 並且可以應用勾股定理，因為貶值的隨機變量與其均值正交。

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技術備註：

在這個例子中真的應該是向量，即標量乘以常數向量（例如在離散的、有限結果的情況下）。是的矢量投影到常數向量上.

簡單示例

考慮以下情況是伯努利隨機變量，其中. 我們有：

圖片是：

紅色向量的平方幅度是方差，藍色向量的平方幅度為, 黃色向量的平方大小為.

請記住，儘管這些量級、正交性等……與通常的點積無關但內積. 黃色向量的大小不是 1，而是 0.2。

紅色矢量和藍色矢量在內積下垂直但它們在介紹，高中幾何意義上*不是垂直的。*請記住，我們沒有使用通常的點積作為內積！

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/254357