變量內方差和成對距離之間的聯繫

請證明如果我們有兩個變量（樣本量相等）和和方差_大於，然後是內部數據點之間的平方差之和（即平方歐幾里得距離）也大於內.

只是為了提供一個“官方”的答案，補充評論中勾勒的解決方案，注意

1. 沒有,,， 或者通過轉移所有改變均勻地對於一些常數或全部轉移到對於一些常數. 因此，我們可以假設已經進行了這樣的轉變，以使, 從何而來和.
2. 在清除雙方的公因數並使用（1）後，問題要求表明暗示.
3. 平方的簡單擴展和重新排列總和給出

有類似的結果的。

證明是立竿見影的。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/20108