Variance
使用中位數計算方差
我有一個非常偏斜的一維隨機變量。為了規範這個分佈，我想使用中位數而不是平均值。我的問題是：我可以使用公式中的中位數而不是平均值來計算分佈的方差嗎？
即我可以更換
和
我背後的理由是，由於方差是分佈集中趨勢的傳播量度，它不應該是一個問題，但我正在尋找驗證這個邏輯。
均值最小化平方誤差（或 L2 範數，請參閱此處或此處），因此自然選擇方差來測量與均值的距離是使用平方誤差（請參閱此處了解我們為何對其進行平方）。另一方面，中位數使絕對誤差（L1 範數）最小化，即它是位於數據“中間”的值，因此與中位數的絕對距離（所謂的中位數絕對偏差或 MAD）似乎是更好地衡量中位數附近的變異程度。您可以在此線程中閱讀有關此關係的更多信息。
簡而言之，方差與 MAD 的不同之處在於它們如何定義數據的中心點，這會影響我們測量其周圍數據點變化的方式。平方值使得異常值對中心點（均值）的影響更大，而在中位數的情況下，所有點對其影響相同，因此絕對距離似乎更合適。
這也可以通過簡單的模擬來顯示。如果您比較平均值和中位數的平方距離值，則總平方距離與平均值的距離幾乎總是小於與中位數的距離。另一方面，總絕對距離離中位數更小，然後離平均值更小。用於進行模擬的 R 代碼發佈在下面。
sqtest <- function(x) sum((x-mean(x))^2) < sum((x-median(x))^2) abstest <- function(x) sum(abs(x-mean(x))) > sum(abs(x-median(x))) mean(replicate(1000, sqtest(rnorm(1000)))) mean(replicate(1000, abstest(rnorm(1000)))) mean(replicate(1000, sqtest(rexp(1000)))) mean(replicate(1000, abstest(rexp(1000)))) mean(replicate(1000, sqtest(runif(1000)))) mean(replicate(1000, abstest(runif(1000))))在估計這種“方差”時使用中位數而不是均值的情況下，這將導致比傳統上使用均值更高的估計值。
順便說一句，L1 和 L2 範數的關係也可以在貝葉斯上下文中考慮，就像在這個線程中一樣。