Variance
k個相關隨機變量乘積的方差
乘積的方差是多少相關隨機變量？
可以在Goodman (1962)：“K 隨機變量的乘積的方差”中找到有關此主題的更多信息，其中導出了獨立隨機變量和潛在相關隨機變量的公式，以及一些近似值。在較早的一篇論文（Goodman，1960）中，導出了恰好兩個隨機變量的乘積公式，這有點簡單（儘管仍然很粗糙），因此如果您想了解推導，這可能是一個更好的起點.
但是，為了完整起見，它是這樣的。
兩個變量
假設如下：
- $ x $ 和 $ y $ 是兩個隨機變量
- $ X $ 和 $ Y $ 是他們的（非零）期望
- $ V(x) $ 和 $ V(y) $ 是他們的方差
- $ \delta_x = (x-X)/X $ （同樣對於 $ \delta_y $ )
- $ D_{i,j} = E \left[ (\delta_x)^i (\delta_y)^j\right] $
- $ \Delta_x = x-X $ （同樣對於 $ \Delta_y $ )
- $ E_{i,j} = E\left[(\Delta_x)^i (\Delta_y)^j\right] $
- $ G(x) $ 是變異係數的平方： $ V(x)/X^2 $ （同樣對於 $ G(Y) $ )
然後： $$ V(xy) = (XY)^2[G(y) + G(x) + 2D_{1,1} + 2D_{1,2} + 2D_{2,1} + D_{2,2} - D_{1,1}^2] $$ 或等效地：
$$ V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2 $$
多於兩個變量
1960 年的論文表明這是對讀者的一個練習（這似乎激發了 1962 年的論文！）。
符號類似，但有一些擴展：
- $ (x_1, x_2, \ldots x_n) $ 是隨機變量而不是 $ x $ 和 $ y $
- $ M = E\left( \prod_{i=1}^k x_i \right) $
- $ A = \left(M / \prod_{i=1}^k X_i\right) - 1 $
- $ s_i $ = 0、1 或 2 $ i = 1, 2, \ldots k $
- $ u $ = 1 的個數 $ (s_1, s_2, \ldots s_k) $
- $ m $ = 2 的數量 $ (s_1, s_2, \ldots s_k) $
- $ D(u,m) = 2^u - 2 $ 為了 $ m=0 $ 和 $ 2^u $ 為了 $ m>1 $ ,
- $ C(s_1, s_2, \ldots, s_k) = D(u,m) \cdot E \left( \prod_{i=1}^k \delta_{x_i}^{s_i} \right) $
- $ \sum_{s_1 \cdots s_k} $ 表示總和 $ 3^k - k -1 $ 套 $ (s_1, s_2, \ldots s_k) $ 在哪裡 $ 2m + u > 1 $
然後，終於：
$$ V\left(\prod_{i=1}^k x_i\right) = \prod X_i^2 \left( \sum_{s_1 \cdots s_k} C(s_1, s_2 \ldots s_k) - A^2\right) $$
有關詳細信息和更易於處理的近似值，請參閱論文！