方差和標準差最優解是什麼問題或博弈？
對於給定的隨機變量（或總體，或隨機過程），數學期望是問題的答案什麼點預測最小化預期平方損失？. 此外，它是遊戲的最佳解決方案*猜測隨機變量的下一個實現（或從總體中抽取新的抽籤），*如果您在術語方面存在線性負效用，我將通過該值與您的猜測之間的平方距離來懲罰您的懲罰。中位數是絕對損失下相應問題的答案，眾數是“全有或全無”損失下的答案。
**問題：**方差和標準差是否回答了任何類似的問題？這些是什麼？
這個問題的動機源於教授集中趨勢和傳播的基本措施。儘管集中趨勢的測量可以由上述決策理論問題激發，但我想知道如何激發擴散測量。
如果我按預期理解了這個問題，那麼您會想到一個設置，您可以在其中獲得任何隨機變量的獨立實現 $ X $ 任何分佈 $ F $ （具有有限方差 $ \sigma^2(F) $ ）。“遊戲”由功能決定 $ h $ 和 $ \mathcal L $ 待描述。它由以下步驟和規則組成：
- 你的對手（“自然”）揭示 $ F. $
- 作為回應，您會產生一個數字 $ t(F), $ 你的“預測”。
為了評估遊戲的結果，執行以下計算：
- 一個樣本 $ n $ 獨立同分佈觀察 $ \mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n $ 取自 $ F. $
- 預定函數 $ h $ 應用於樣品，產生一個數字 $ h(\mathbf{X}), $ “統計”。
- “損失函數” $ \mathcal{L} $ 比較你的“預測” $ t(F) $ 到統計 $ h(\mathbf{X}), $ 產生一個非負數 $ \mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})). $
- 遊戲的結果是預期的損失（或“風險”）$$ R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))). $$
你的目標是通過指定一些 $ t $ 最大限度地降低風險。
例如，在遊戲中具有功能 $ h(X_1)=X_1 $ 以及表格的任何丟失 $ \mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2 $ 對於一些正數 $ \lambda, $ 你的最佳選擇是選擇 $ t(F) $ 成為期望 $ F. $
擺在我們面前的問題是，
是否存在 $ \mathcal{L} $ 和 $ h $ 最佳移動是選擇 $ t(F) $ 成為方差 $ \sigma^2(F) $ ?
這很容易通過將方差顯示為期望來回答。 一種方法是規定$$ h(X_1,X_2) = \frac{1}{2}(X_1-X_2)^2 $$並繼續使用二次損失$$ \mathcal{L}(t,h) = (t-h)^2. $$ 觀察到
$$ E(h(\mathbf{X})) = \sigma^2(F), $$
該示例使我們可以得出結論，這 $ h $ 和這個 $ \mathcal L $ 回答關於方差的問題。
標準差怎麼算 $ \sigma(F) $ ? 同樣，我們只需要將其展示為樣本統計的期望值。然而，*這是不可能的，*因為即使我們限制 $ F $ 給伯努利的家人 $ (p) $ 我們只能獲得多項式函數的無偏估計量 $ p, $ 但 $ \sigma(F) = \sqrt{p(1-p)} $ 不是域上的多項式函數 $ p\in (0,1). $ （參見二項分佈，為什麼不存在無偏估計? 關於二項式分佈的一般論點，這個問題可以在平均後減少 $ h $ 在所有的排列 $ X_i. $ )