Variance
最小值是多少μ(1-μ)/σ2μ(1−μ)/σ2mu (1-mu)/ sigma^2在有界區間上的所有連續單峰分佈[0,1][0,1][0,1]?
有界區間上的所有分佈滿足：
在哪裡是平均值並且方差。
現在假設分佈是單峰分佈，即它至多有一個局部最大值。以下比率可以具有的最小值是多少：
**不存在最小值。**然而，下確界確實如此。從以下事實可以得出
定義的單峰分佈的方差的上限有意思是(） 要么().
上確界實際上是通過一個分佈獲得的——儘管它沒有密度函數——仍然可以（在廣義上）被認為是“單峰的”；它會有一個原子（什麼時候) 或原子（什麼時候) 但否則是統一的。
我將概述論點。問題要求我們優化線性泛函
受到各種平等和不平等的約束，其中是區間上的一組（有符號）度量. 對於可微分和任何連續函數，定義
並擴展對所有人通過連續性。
等式約束是
和
不等式約束是
並且存在（一種“模式”），這樣對於所有人和所有,
這些約束確定了一個凸域在之上是要優化的。
與有限維空間中的任何線性程序一樣，將在頂點達到. 這些顯然是相對於勒貝格測度絕對連續的測度，它們是分段常數，因為頂點是幾乎所有不等式變為等式的地方：並且這些不等式中的大多數與（非增加的尾部行為）。
為了滿足這兩個等式約束，我們只需要在, 說一個數字. 讓區間上的常數值是和常數值是，基於等式約束的簡單計算產生
***這張圖說明了一切：***它描繪了均值的局部常數分佈函數最多一次休息. （情節的為了看起來像這個的反轉。）
的價值在這樣的措施（我將表示, 分佈的密度) 很容易計算為
這個表達式是線性的, 意味著它在（什麼時候),（什麼時候），或任何值（當）。然而，除非當, 措施的極限值不再連續：對應分佈要么在要么（但不是兩者）。
該圖描繪了最優平均.
無論如何，最佳值是
因此，下確界為了是
當（通過替換獲得經過).
該圖繪製了上確界相對.
