為什麼 RNA-seq 數據的對數轉換會減少 PCA 中解釋方差的數量？
我在具有 2k 行和 36k 列的數據集上運行 PCA。我注意到，當我對數據進行對數轉換時，我需要在 PCA 期間要求更多的主成分，以實現相同數量的解釋方差（見附圖）。
造成這種情況的根本原因是什麼？我有一種天真的直覺，即對數轉換“壓縮”數據，因此不同主成分的解釋方差量正在“同質化”。對此有嚴格的解釋還是我犯了錯誤？
根據您的數據集的大小，我懷疑您正在使用單細胞 RNA-seq 數據。
如果是這樣，我可以確認您的觀察：使用 scRNA-seq 數據，對數變換後 PCA 解釋的方差通常比之前低得多。這是您與Tasic 等人的發現的複制。我手頭的2016 年數據集：
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這裡我用 $ \log(x+1) $ 因為精確的零。請注意，對數轉換數據產生的解釋方差與標準化數據大致相似（當每個變量居中並縮放以具有單位方差時）。
原因是不同的變量（基因）具有非常不同的方差。RNA-seq 數據最終是 RNA 分子的計數，方差隨均值單調增長（想想泊松分佈）。因此，高表達的基因將具有高方差，而幾乎沒有表達或檢測到的基因將具有幾乎為零的方差：
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在沒有任何轉換的情況下，只有一個基因可以解釋超過 40% 的方差（即其方差高於總方差的 40%）。在這個數據集中，恰好是這個基因：https : //en.wikipedia.org/wiki/Neuropeptide_Y，它在某些細胞中高度表達（RPKM 值超過 100000），而在其他一些細胞中表達為零。當你對原始數據做 PCA 時，PC1 基本上會與這個單一基因重合。
這類似於PCA 關於相關性或協方差的公認答案中發生的情況？：
請注意，關於協方差的 PCA 由
run800m和支配javelin：PC1 幾乎等於run800m（並解釋了 82% 的方差），而 PC2 幾乎等於javelin（它們一起解釋了 97%）。關於相關性的 PCA 提供的信息要多得多，並揭示了數據中的一些結構和變量之間的關係（但請注意，解釋的方差下降到 64% 和 71%）。更新
在評論中，@An-old-man-in-the-sea 提出了方差穩定轉換的問題。RNA-seq 計數通常用負二項分佈建模，具有以下均值-方差關係：$$ V(\mu) = \mu + \frac{1}{r}\mu^2. $$
如果我們忽略第一項（這在假設高表達基因攜帶 PCA 的最多信息的情況下是有道理的），那麼剩餘的均值 - 方差關係變為二次方，與對數正態分佈一致，並且具有對數作為方差穩定變換：$$ \int\frac{1}{\sqrt{\mu^2}}d\mu=\log(\mu). $$
或者，小權力 $ \mu^\alpha $ 與例如 $ \alpha\approx 0.1 $ 左右也可能是有意義的，並且對於 $ V(\mu)=\mu^{2-2\alpha} $ ，所以介於線性和二次均值-方差關係之間。
另一種選擇是使用$$ \int\frac{1}{\sqrt{\mu+\frac{1}{r}\mu^2}}d\mu=\operatorname{arsinh}\Big(\frac{x}{r}\Big)=\log\Big(\sqrt{\frac{\mu}{r}}+\sqrt{\frac{\mu^2}{r^2}+1}\Big), $$可能與 Anscombe 的修正為$$ \operatorname{arsinh}\Big(\frac{x+3/8}{r-3/4}\Big). $$顯然對於大 $ \mu $ 所有這些公式都簡化為 $ \log(x) $ .
請參閱Harrison，2015，Anscombe 的 1948 年負二項式分佈的方差穩定轉換非常適合 RNA-Seq 表達數據和Anscombe，1948 年，泊松、二項式和負二項式數據的轉換。
