Asymptotics
多項式的漸近分佈
我正在尋找多項分佈對 d 結果的限制分佈。IE，配置如下
在哪裡是具有密度的向量值隨機變量為了這樣,和 0 為所有其他， 在哪裡
我在 Larry Wasserman 的“所有統計數據”定理 14.6，第 237 頁中找到了一種形式，但是為了限制分佈，它為 Normal 提供了一個奇異的協方差矩陣，所以我不確定如何對其進行歸一化。您可以將隨機向量投影到 (d-1) 維空間中以使協方差矩陣滿秩，但是要使用什麼投影呢？
更新 11/5
Ray Koopman 對奇異高斯問題有一個很好的總結。基本上，奇異協方差矩陣表示變量之間的完美相關性，這是不可能用高斯表示的。但是，可以得到條件密度的高斯分佈，其條件是隨機向量的值是有效的（分量加起來為在上述情況下）。
條件高斯的不同之處在於，逆被替換為偽逆，並且歸一化因子使用“非零特徵值的乘積”而不是“所有特徵值的乘積”。Ian Frisce 給出了一些細節的鏈接。
還有一種方法可以不參考特徵值來表達條件高斯的歸一化因子， 這裡是一個推導
協方差仍然是非負定的（有效的多元正態分佈也是如此），但不是正定的：這意味著（至少）隨機向量的一個元素是其他元素的線性組合。
因此，從這個分佈中抽取的任何結果都將始終位於. 因此，這意味著不可能定義密度函數（因為分佈集中在子空間上：想想如果方差為零，單變量法線將集中在均值上的方式）。
但是，正如 Robby McKilliam 所建議的，在這種情況下，您可以刪除隨機向量的最後一個元素。這個簡化向量的協方差矩陣將是原始矩陣，最後一列和最後一行被刪除，現在將是正定的，並且會有一個密度（這個技巧在其他情況下也可以工作，但你必須小心哪個元素你掉了，你可能需要掉不止一個）。